Trong các hệ thức sau đây, hệ thức nào sai?

Câu hỏi số 226097:

Thông hiểu

A. \(C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4 + C_{2n}^6 + ... + C_{2n}^{2n} = C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + C_{2n}^5 + C_{2n}^7 + ... + C_{2n}^{2n - 1}\)

B. \(C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + C_{2n}^2 + C_{2n}^3 + ... + C_{2n}^n = C_{2n}^{n + 1} + C_{2n}^{n + 2} + C_{2n}^{n + 3} + C_{2n}^{n + 4} + ... + C_{2n}^{2n}\)

C. \(C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + C_{2n + 1}^6 + ... + C_{2n + 1}^{2n} = C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5 + C_{2n + 1}^7 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}\)

D. \(C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^n = C_{2n + 1}^{n + 1} + C_{2n + 1}^{n + 2} + C_{2n + 1}^{n + 3} + C_{2n + 1}^{n + 4} + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:226097

Phương pháp giải

+) Xuất phát từ khai triển nhị thức \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

+) Thay \(a,b,n\) bằng các giá trị thích hợp.

+) Áp dụng tính chất \(C_n^k = C_n^{n - k}\)

Giải chi tiết

Ta có: \({\left( {a + b} \right)^{2n}} = C_{2n}^0{a^{2n}} + C_{2n}^1{a^{2n - 1}}b + C_{2n}^2{a^{2n - 2}}{b^2} + ... + C_{2n}^{2n - 1}a{b^{2n - 1}} + C_{2n}^{2n}{b^{2n}}\)

Thay \(a = 1,b = - 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}
0 = C_{2n}^0 - C_{2n}^1 + C_{2n}^2 - C_{2n}^3 + ... + C_{2n}^{2n - 2} - C_{2n}^{2n - 1} + C_{2n}^{2n}\\
\Leftrightarrow C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4 + C_{2n}^6 + ... + C_{2n}^{2n} = C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + C_{2n}^5 + C_{2n}^7 + ... + C_{2n}^{2n - 1}
\end{array}\)

Đáp án A đúng.

Ta có: \({\left( {a + b} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0{a^{2n + 1}} + C_{2n + 1}^1{a^{2n}}b + C_{2n + 1}^2{a^{2n - 1}}{b^2} + ... + C_{2n + 1}^{2n}a{b^{2n}} + C_{2n + 1}^{2n + 1}{b^{2n + 1}}\)

Thay \(a = 1,b = - 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}
0 = C_{2n + 1}^0 - C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 - C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n - 2} - C_{2n + 1}^{2n - 1} + C_{2n + 1}^{2n} - C_{2n + 1}^{2n + 1}\\
\Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + C_{2n + 1}^6 + ... + C_{2n + 1}^{2n} = C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5 + C_{2n + 1}^7 + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}
\end{array}\)

Đáp án C đúng.

Áp dụng tính chất \(C_n^k = C_n^{n - k}\) ta có:

\(\begin{array}{l}
C_{2n + 1}^0 = C_{2n + 1}^{2n + 1}\\
C_{2n + 1}^1 = C_{2n + 1}^{2n}\\
C_{2n + 1}^2 = C_{2n + 1}^{2n - 1}\\
...\\
C_{2n + 1}^n = C_{2n + 1}^{n + 1}
\end{array}\)

Cộng vế với vế ta có

\(C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^n = C_{2n + 1}^{n + 1} + C_{2n + 1}^{n + 2} + C_{2n + 1}^{n + 3} + C_{2n + 1}^{n + 4} + ... + C_{2n + 1}^{2n + 1}\)

Đáp án D đúng.

Áp dụng tính chất \(C_n^k = C_n^{n - k}\) ta có:

\(\begin{array}{l}
C_{2n}^0 = C_{2n}^{2n}\\
C_{2n}^1 = C_{2n}^{2n - 1}\\
C_{2n}^2 = C_{2n}^{2n - 2}\\
...\\
C_{2n}^{n - 1} = C_{2n}^{n + 1}
\end{array}\)

Cộng vế với vế ta có

\(\begin{array}{l}
C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + C_{2n}^2 + C_{2n}^3 + ... + C_{2n}^{n - 1} = C_{2n}^{n + 1} + C_{2n}^{n + 2} + C_{2n}^{n + 3} + C_{2n}^{n + 4} + ... + C_{2n}^{2n}\\
\Leftrightarrow C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + C_{2n}^2 + C_{2n}^3 + ... + C_{2n}^n > C_{2n}^{n + 1} + C_{2n}^{n + 2} + C_{2n}^{n + 3} + C_{2n}^{n + 4} + ... + C_{2n}^{2n}
\end{array}\)

Đáp án B sai.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.