Số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(4n + {2^3}C_n^2 + {2^4}C_n^3 + ... + {2^{n - 1}}C_n^{n - 2} + {2^n}C_n^{n - 1} + {2^{n + 1}} = 4372\) là:
Câu 226118: Số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(4n + {2^3}C_n^2 + {2^4}C_n^3 + ... + {2^{n - 1}}C_n^{n - 2} + {2^n}C_n^{n - 1} + {2^{n + 1}} = 4372\) là:
A. \(n = 9\)
B. \(n = 7\)
C. \(n = 8\)
D. \(n = 6\)
+) Xuất phát từ khai triển nhị thức \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
+) Thay \(a,b,n\) bằng các giá trị thích hợp để tính giá trị biểu thức VT.
+) Giải phương trình để tìm \(n\)
-
Đáp án : B(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt
\(\begin{array}{l}
S = 4n + {2^3}C_n^2 + {2^4}C_n^3 + ... + {2^{n - 1}}C_n^{n - 2} + {2^n}C_n^{n - 1} + {2^{n + 1}}\\
= 4C_n^1 + {2^3}C_n^2 + {2^4}C_n^3 + ... + {2^{n - 1}}C_n^{n - 2} + {2^n}C_n^{n - 1} + {2^{n + 1}}C_n^n\\
= 2\left( {{2^1}C_n^1 + {2^2}C_n^2 + {2^3}C_n^3 + ... + {2^{n - 2}}C_n^{n - 2} + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n} \right)
\end{array}\)Ta có: \({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)
Thay \(a = 1,b = 2\) ta có:
\(\begin{array}{l}
{3^n} = C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + ... + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n\\
\Leftrightarrow {3^n} = 1 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + ... + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n\\
\Leftrightarrow 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + ... + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n = {3^n} - 1
\end{array}\)Suy ra \(S = 2.\left( {{3^n} - 1} \right)\)
Kết hợp với giả thiết ta có: \(2.\left( {{3^n} - 1} \right) = 4372 \Leftrightarrow {3^n} - 1 = 2186 \Leftrightarrow {3^n} = 2187 \Leftrightarrow {3^n} = {3^7} \Leftrightarrow n = 7\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com