Số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(C_n^0.C_{n + 1}^n + C_n^1.C_{n + 1}^{n - 1} + C_n^2.C_{n + 1}^{n - 2} + ... +

Câu hỏi số 226122:

Vận dụng cao

Số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \(C_n^0.C_{n + 1}^n + C_n^1.C_{n + 1}^{n - 1} + C_n^2.C_{n + 1}^{n - 2} + ... + C_n^{n - 1}.C_{n + 1}^1 + C_n^n.C_{n + 1}^0 = 1716\) là:

A. \(n = 9\)

B. \(n = 7\)

C. \(n = 8\)

D. \(n = 6\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:226122

Phương pháp giải

Sử dụng đồng nhất \({\left( {1 + x} \right)^n}{\left( {1 + x} \right)^{n + 1}} = {\left( {1 + x} \right)^{2n + 1}}\)

Giải chi tiết

Ta có:

\({\left( {1 + x} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1x + C_{2n + 1}^2{x^2} + ... + C_{2n + 1}^{2n}{x^{2n}} + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}\)

Mặt khác:

\({\left( {1 + x} \right)^n} = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^{n - 1}{x^{n - 1}} + C_n^n{x^n}\)

\({\left( {1 + x} \right)^{n + 1}} = C_{n + 1}^0 + C_{n + 1}^1x + C_{n + 1}^2{x^2} + ... + C_{n + 1}^{n - 1}{x^{n - 1}} + C_{n + 1}^n{x^n} + C_{n + 1}^{n + 1}{x^{n + 1}}\)

Suy ra

\({\left( {1 + x} \right)^n}{\left( {1 + x} \right)^{n + 1}} = \left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + ... + C_n^{n - 1}{x^{n - 1}} + C_n^n{x^n}} \right)\left( {C_{n + 1}^0 + C_{n + 1}^1x + C_{n + 1}^2{x^2} + ... + C_{n + 1}^{n - 1}{x^{n - 1}} + C_{n + 1}^n{x^n} + C_{n + 1}^{n + 1}{x^{n + 1}}} \right)\)

Đồng nhất hệ số của \({x^n}\) ta được:

\(C_n^0.C_{n + 1}^n + C_n^1.C_{n + 1}^{n - 1} + C_n^2.C_{n + 1}^{n - 2} + ... + C_n^{n - 1}.C_{n + 1}^1 + C_n^n.C_{n + 1}^0 = C_{2n + 1}^n\)

Với \(n = 9\) ta có: \(C_{2n + 1}^n = C_{19}^9 = 92378\)

Với \(n = 8\) ta có: \(C_{2n + 1}^n = C_{17}^8 = 24310\)

Với \(n = 7\) ta có: \(C_{2n + 1}^n = C_{15}^7 = 6435\)

Với \(n = 6\) ta có: \(C_{2n + 1}^n = C_{13}^6 = 1716\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.