Cho dãy số \(({{u}_{n}})\)xác định bởi \(\left\{ \begin{align} & u_{1}=2 \\ & {{u}_{n+1}}=\frac{{{u}_{n}}+1}{2},\,\,\,\left( n\ge 1 \right) \end{align} \right.\,\,\). Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
Câu 226154: Cho dãy số \(({{u}_{n}})\)xác định bởi \(\left\{ \begin{align} & u_{1}=2 \\ & {{u}_{n+1}}=\frac{{{u}_{n}}+1}{2},\,\,\,\left( n\ge 1 \right) \end{align} \right.\,\,\). Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Dãy \(({{u}_{n}})\)là dãy giảm tới 1 khi \(n\to +\infty \).
B. Dãy \(({{u}_{n}})\)là dãy tăng tới 1 khi \(n\to +\infty \).
C. Không tồn tại giới hạn của dãy \(({{u}_{n}})\).
D. Cả 3 đáp án trên đều sai.
- Tính \({{u}_{2}},\,{{u}_{3}},...\), từ đó dự đoán công thức tổng quát của dãy số.
- Rút ra nhận xét.
-
Đáp án : A(27) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{align} & {{u}_{2}}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}=\frac{{{2}^{1}}+1}{{{2}^{1}}} \\ & {{u}_{3}}=\frac{\frac{3}{2}+1}{2}=\frac{5}{4}=\frac{{{2}^{2}}+1}{{{2}^{2}}} \\ & {{u}_{4}}=\frac{\frac{5}{4}+1}{2}=\frac{9}{8}=\frac{{{2}^{3}}+1}{{{2}^{3}}} \\\end{align}\)
Chứng minh bằng quy nạp: \({{u}_{n+1}}=\frac{{{2}^{n}}+1}{{{2}^{n}}},\,\,\forall n=1;2;...\,\,\,\,(*)\):
* Với \(n=1\): \({{u}_{2}}=\dfrac{{{u}_{1}}+1}{2}=\dfrac{2+1}{2}=\dfrac{{{2}^{1}}+1}{{{2}^{1}}}\) : (*) đúng
* Giả sử (*) đúng với \(n = k - 1\), tức là \({u_k} = \dfrac{{{2^{k - 1}} + 1}}{{{2^{k - 1}}}}\) ta chứng minh (*) đúng với \(n = k\) , tức là cần chứng minh \({u_{k + 1}} = \dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}\)
Ta có : \({u_{k + 1}} = \dfrac{{{u_k} + 1}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{{2^{k - 1}} + 1}}{{{2^{k - 1}}}} + 1}}{2}\)\( = \dfrac{{\dfrac{{{2^{k - 1}} + 1 + {2^{k - 1}}}}{{{2^{k - 1}}}}}}{2} = \dfrac{{{{2.2}^{k - 1}} + 1}}{{{2^k}}} = \dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}\)
Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).
Như vậy, công thức tổng quát của dãy \(({{u}_{n}})\)là: \({{u}_{n}}=\dfrac{{{2}^{n-1}}+1}{{{2}^{n-1}}}=1+\frac{1}{{{2}^{n-1}}},\,\,\forall n=1;2;...\,\,\,\,(*)\)
Từ (*) ta có \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=1+\frac{1}{{{2}^{n}}}-\left( 1+\frac{1}{{{2}^{n-1}}} \right)=\frac{1}{{{2}^{n}}}-\frac{1}{{{2}^{n-1}}}<0\,\,\forall n=1,2,...\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\) là dãy giảm và \(\lim {{u}_{n}}=\lim \left( 1+\frac{1}{{{2}^{n-1}}} \right)=1\Rightarrow \)\(({{u}_{n}})\) là dãy giảm tới 1 khi \(n\to +\infty \)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
