Cho dãy số \(({{u}_{n}})\)xác định bởi \(\left\{ \begin{align} & u_{1}=\frac{1}{2} \\ & {{u}_{n+1}}=\frac{\sqrt{u_{n}^{2}+4{{u}_{n}}}+{{u}_{n}}}{2},\,\,\left( n\ge 1 \right) \end{align} \right.\,\,\). Đặt \({{v}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{u_{_{i}}^{2}}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?

Câu 226173: Cho dãy số \(({{u}_{n}})\)xác định bởi \(\left\{ \begin{align} & u_{1}=\frac{1}{2} \\ & {{u}_{n+1}}=\frac{\sqrt{u_{n}^{2}+4{{u}_{n}}}+{{u}_{n}}}{2},\,\,\left( n\ge 1 \right) \end{align} \right.\,\,\). Đặt \({{v}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{u_{_{i}}^{2}}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Không tồn tại giới hạn của \({{v}_{n}}\).

B. \({{v}_{n}}\) có giới hạn hữu hạn là \(\infty \).

C. \({{v}_{n}}\) có giới hạn hữu hạn và \(\lim {{v}_{n}}=0.\)

D. \({{v}_{n}}\) có giới hạn hữu hạn và \(\lim {{v}_{n}}=6.\)

Câu hỏi : 226173

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Biến đổi, rút gọn biểu thức\({{v}_{n}}\) rồi tính giới hạn.

Đáp án : D
(19) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{\sqrt {u_n^2 + 4{u_n}} + {u_n}}}{2} - {u_n} = \frac{{\sqrt {u_n^2 + 4{u_n}} - {u_n}}}{2} > \frac{{\sqrt {u_n^2} - {u_n}}}{2} = 0 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng.

Giả sử \(\lim {u_n} = a\) thì \(a > 0\) và \(a = \frac{{\sqrt {{a^2} + 4a} + a}}{2} \Leftrightarrow a = \sqrt {{a^2} + 4a} \)\( \Leftrightarrow {a^2} = {a^2} + 4a \Rightarrow a = 0\) (vô lý).

Suy ra \(\lim {u_n} = + \infty \)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{u_n} = \frac{{\sqrt {u_{n - 1}^2 + 4{u_{n - 1}}} + {u_{n - 1}}}}{2}\\ \Leftrightarrow 2{u_n} - {u_{n - 1}} = \sqrt {u_{n - 1}^2 + 4{u_{n - 1}}} \\ \Leftrightarrow 4u_n^2 - 4{u_n}{u_{n - 1}} + u_{n - 1}^2 = u_{n - 1}^2 + 4{u_{n - 1}}\\ \Leftrightarrow u_n^2 = \left( {{u_n} + 1} \right){u_{n - 1}}\\ \Rightarrow \frac{1}{{u_n^2}} = \frac{1}{{\left( {{u_n} + 1} \right){u_{n - 1}}}} = \frac{1}{{{u_{n - 1}}}} - \frac{1}{{{u_n}}}\end{array}\)

Vì:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{u_n^2 = \left( {{u_n} + 1} \right){u_{n - 1}} = {u_{n - 1}}{u_n} + {u_{n - 1}}}\\{ \Leftrightarrow {u_n} = u_n^2 + {u_n} - {u_{n - 1}}{u_n} - {u_{n - 1}}}\\{ \Leftrightarrow {u_n} = {u_n}\left( {{u_n} + 1} \right) - {u_{n - 1}}\left( {{u_n} + 1} \right)}\\{ \Leftrightarrow {u_n} = \left( {{u_n} + 1} \right)\left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right)}\\{ \Leftrightarrow \frac{1}{{{u_n} + 1}} = \frac{{{u_n} - {u_{n - 1}}}}{{{u_n}}}}\\{ \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {{u_n} + 1} \right){u_{n - 1}}}} = \frac{{{u_n} - {u_{n - 1}}}}{{{u_n}{u_{n - 1}}}} = \frac{1}{{{u_{n - 1}}}} - \frac{1}{{{u_n}}}}\end{array}\)

Do đó

\(\begin{array}{l}{v_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{u_i^2}} = \frac{1}{{u_1^2}} + \left( {\frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{u_2}}} - \frac{1}{{{u_3}}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{{u_{n - 1}}}} - \frac{1}{{{u_n}}}} \right)} \\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{u_1^2}} + \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_n}}} = 6 - \frac{1}{{{u_n}}}\\ \Rightarrow \lim {v_n} = \lim \left( {6 - \frac{1}{{{u_n}}}} \right) = 6 - 0 = 6.\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.