Cho dãy số \(({{u}_{n}})\)xác định bởi \(\left\{ \begin{align} & u_{1}=\frac{1}{2} \\ &

Câu hỏi số 226173:

Vận dụng cao

Cho dãy số \(({{u}_{n}})\)xác định bởi \(\left\{ \begin{align} & u_{1}=\frac{1}{2} \\ & {{u}_{n+1}}=\frac{\sqrt{u_{n}^{2}+4{{u}_{n}}}+{{u}_{n}}}{2},\,\,\left( n\ge 1 \right) \end{align} \right.\,\,\). Đặt \({{v}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{u_{_{i}}^{2}}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Không tồn tại giới hạn của \({{v}_{n}}\).

B. \({{v}_{n}}\) có giới hạn hữu hạn là \(\infty \).

C. \({{v}_{n}}\) có giới hạn hữu hạn và \(\lim {{v}_{n}}=0.\)

D. \({{v}_{n}}\) có giới hạn hữu hạn và \(\lim {{v}_{n}}=6.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:226173

Phương pháp giải

- Biến đổi, rút gọn biểu thức\({{v}_{n}}\) rồi tính giới hạn.

Giải chi tiết

Xét \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{\sqrt {u_n^2 + 4{u_n}} + {u_n}}}{2} - {u_n} = \frac{{\sqrt {u_n^2 + 4{u_n}} - {u_n}}}{2} > \frac{{\sqrt {u_n^2} - {u_n}}}{2} = 0 \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng.

Giả sử \(\lim {u_n} = a\) thì \(a > 0\) và \(a = \frac{{\sqrt {{a^2} + 4a} + a}}{2} \Leftrightarrow a = \sqrt {{a^2} + 4a} \)\( \Leftrightarrow {a^2} = {a^2} + 4a \Rightarrow a = 0\) (vô lý).

Suy ra \(\lim {u_n} = + \infty \)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{u_n} = \frac{{\sqrt {u_{n - 1}^2 + 4{u_{n - 1}}} + {u_{n - 1}}}}{2}\\ \Leftrightarrow 2{u_n} - {u_{n - 1}} = \sqrt {u_{n - 1}^2 + 4{u_{n - 1}}} \\ \Leftrightarrow 4u_n^2 - 4{u_n}{u_{n - 1}} + u_{n - 1}^2 = u_{n - 1}^2 + 4{u_{n - 1}}\\ \Leftrightarrow u_n^2 = \left( {{u_n} + 1} \right){u_{n - 1}}\\ \Rightarrow \frac{1}{{u_n^2}} = \frac{1}{{\left( {{u_n} + 1} \right){u_{n - 1}}}} = \frac{1}{{{u_{n - 1}}}} - \frac{1}{{{u_n}}}\end{array}\)

Vì:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{u_n^2 = \left( {{u_n} + 1} \right){u_{n - 1}} = {u_{n - 1}}{u_n} + {u_{n - 1}}}\\{ \Leftrightarrow {u_n} = u_n^2 + {u_n} - {u_{n - 1}}{u_n} - {u_{n - 1}}}\\{ \Leftrightarrow {u_n} = {u_n}\left( {{u_n} + 1} \right) - {u_{n - 1}}\left( {{u_n} + 1} \right)}\\{ \Leftrightarrow {u_n} = \left( {{u_n} + 1} \right)\left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right)}\\{ \Leftrightarrow \frac{1}{{{u_n} + 1}} = \frac{{{u_n} - {u_{n - 1}}}}{{{u_n}}}}\\{ \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {{u_n} + 1} \right){u_{n - 1}}}} = \frac{{{u_n} - {u_{n - 1}}}}{{{u_n}{u_{n - 1}}}} = \frac{1}{{{u_{n - 1}}}} - \frac{1}{{{u_n}}}}\end{array}\)

Do đó

\(\begin{array}{l}{v_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{u_i^2}} = \frac{1}{{u_1^2}} + \left( {\frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{u_2}}} - \frac{1}{{{u_3}}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{{u_{n - 1}}}} - \frac{1}{{{u_n}}}} \right)} \\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{1}{{u_1^2}} + \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_n}}} = 6 - \frac{1}{{{u_n}}}\\ \Rightarrow \lim {v_n} = \lim \left( {6 - \frac{1}{{{u_n}}}} \right) = 6 - 0 = 6.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.