Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Qua A kẻ đường thẳng d bất kì. Kẻ BD và CE cùng vuông góc với
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Qua A kẻ đường thẳng d bất kì. Kẻ BD và CE cùng vuông góc với đường thẳng d(D và E cùng thuộc đường thẳng d). Chứng minh rằng \(A{{D}^{2}}+A{{E}^{2}}\) không phụ thuộc vào vị trí đường thẳng d.
Quảng cáo
Sử dụng định lý Pitago đảo để chứng minh \(A{{D}^{2}}+A{{E}^{2}}\) bằng một độ dài cố định nào đó không phụ thuộc vào d, từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Ta có: \(\widehat{{{A}_{1}}}+\widehat{{{A}_{2}}}+\widehat{{{A}_{3}}}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{{{A}_{1}}}+\widehat{{{A}_{3}}}={{180}^{0}}-\widehat{{{A}_{2}}}={{180}^{0}}-{{90}^{0}}={{90}^{0}}\) (1)
Xét tam giác AEC vuông tại E ta có: \(\widehat{{{A}_{3}}}+\widehat{{{C}_{1}}}={{90}^{0}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\) (cùng phụ với góc \(\widehat{{{A}_{3}}}\) )
Xét hai tam giác ABD và CAE có:
\(\widehat{D}=\widehat{E}={{90}^{0}},\,AB=AC,\,\,\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\) , suy ra \(\Delta ABD=\Delta CAE(ch\,-\,gn)\).
Suy ra BD = AE (hai cạnh tương ứng)
Suy ra \(A{{D}^{2}}+A{{E}^{2}}=A{{D}^{2}}+B{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}\) (do tam giác ABD vuông tại D)
Suy ra \(A{{D}^{2}}+A{{E}^{2}}\) không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d.
Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
