Giá trị \(\lim \sqrt {\dfrac{{{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}}}{{2n\left( {6n + 5} \right)\left( {n + 7} \right)}}} \) bằng:

Câu 227187: Giá trị \(\lim \sqrt {\dfrac{{{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}}}{{2n\left( {6n + 5} \right)\left( {n + 7} \right)}}} \) bằng:

A. \(\dfrac{1}{{2\sqrt 6 }}\)

B. \( + \infty \)

C. \(\dfrac{1}{2}\)

D. \(\dfrac{1}{6}\)

Câu hỏi : 227187

Quảng cáo

Phương pháp giải:

+) Tính tổng \({1^2} + {2^2} + ... + {n^2}\)

+) Sử dụng MTCT để tính giới hạn

Đáp án : D
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:

\(\begin{array}{l}
{2^3} = {\left( {1 + 1} \right)^3} = {1^3} + {3.1^2} + 3.1 + 1\\
{3^3} = {\left( {2 + 1} \right)^3} = {2^3} + {3.2^2} + 3.2 + 1\\
{4^3} = {\left( {3 + 1} \right)^3} = {3^3} + {3.3^2} + 3.3 + 1\\
....\\
{\left( {n + 1} \right)^3} = {n^3} + 3{n^2} + 3n + 1\\
\Rightarrow {2^3} + {3^3} + ... + {\left( {n + 1} \right)^3} = {1^3} + {2^3} + ... + {n^3} + 3\left( {{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}} \right) + 3\left( {1 + 2 + 3 + ... + n} \right) + n\\
\Leftrightarrow {\left( {n + 1} \right)^3} = 1 + 3\left( {{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}} \right) + 3\dfrac{{\left( {n + 1} \right)n}}{2} + n\\
\Leftrightarrow 3\left( {{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}} \right) = {n^3} + 3{n^2} + 3n + 1 - 1 - \dfrac{3}{2}{n^2} - \dfrac{3}{2}n - n\\
\Leftrightarrow 3\left( {{1^2} + {2^2} + ... + {n^2}} \right) = {n^3} + \dfrac{3}{2}{n^2} + \dfrac{1}{2}n = \dfrac{{2{n^3} + 3n + n}}{2}\\
\Leftrightarrow {1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \dfrac{{2{n^3} + 3n + n}}{6} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\\
\Rightarrow \dfrac{{{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}}}{{2n\left( {6n + 5} \right)\left( {n + 7} \right)}} = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{12n\left( {6n + 5} \right)\left( {n + 7} \right)}}
\end{array}\)

Nhập \(\sqrt {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{{12n\left( {6n + 5} \right)\left( {n + 7} \right)}}} \) vào MTCT , nhấn [CALC], chọn \(x = {10^{10}}\) ta thu được kết quả \( = \dfrac{1}{6} \Rightarrow \lim \sqrt {\dfrac{{{1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}}}{{2n\left( {6n + 5} \right)\left( {n + 7} \right)}}} = \dfrac{1}{6}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.