Cho O là một điểm bất kì nằm trong \(\Delta ABC\). Chứng

Câu hỏi số 227804:

Vận dụng cao

Cho O là một điểm bất kì nằm trong \(\Delta ABC\). Chứng minh:

\(\frac{AB+BC+AC}{2}<OA+OB+OC<AB+BC+AC.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:227804

Phương pháp giải

- Kẻ thêm hình: Gọi giao điểm của AO và BC là M, giao điểm của BO và AC là I, giao điểm của CO và AB là N.

- Áp dụng bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

- Chứng minh: \(\left\{ \begin{align} & OA+OB<AC+BC \\ & OA+OC<AB+BC \\ & OC+OB<AC+AB \\\end{align} \right.\)

Giải chi tiết

Gọi giao điểm của AO và BC là M, giao điểm của BO và AC là I, giao điểm của CO và AB là N.

Xét \(\Delta BIC\) có: \(BI<IC+BC\) (bất đẳng thức tam giác)

Xét \(\Delta AIO\) có: \(AO<IO+IA\) (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: \(BI+AO<IC+BC+IO+IA\).

Mà O nằm giữa B và I \(\Rightarrow BI=OB+OI\) và I nằm giữa A và C

\(\Rightarrow AC=AI+IC\)

Do đó ta có: \(OB+OI+AO<BC+AC+OI\Rightarrow OB+OA<AC+BC\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta AMB\) có: \(AM<AB+BM\) (bất đẳng thức tam giác)

Xét \(\Delta MCO\) có: \(OC<OM+MC\) (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: \(AM+OC<AB+BM+OM+MC\)

Mà O nằm giữa A và M \(\Rightarrow AM=OA+OM\) và M nằm giữa B và C \(\Rightarrow BC=MB+MC\)

Do đó ta có: \(OA+OM+OC<AB+BC+OM\Rightarrow OC+OA<AB+BC\left( 2 \right)\)

Xét \(\Delta ANC\) có: \(CN<AN+AC\) (bất đẳng thức tam giác)

Xét \(\Delta BNO\) có: \(OB<ON+BN\) (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: \(CN+OB<AN+AC+ON+BN\)

Mà O nằm giữa C và N \(\Rightarrow NC=OC+ON\) và N nằm giữa A và B \(\Rightarrow AB=AN+NB\)

Do đó ta có: \(ON+OC+OB<AB+AC+ON\Rightarrow OB+OC<AB+AC\left( 3 \right)\)

Cộng vế với vế của \(\left( 1 \right)\left( 2 \right)\left( 3 \right)\) ta được: \(2\left( OA+OB+OC \right)<2\left( AB+AC+BC \right)\Rightarrow OA+OB+OC<AB+AC+BC\left( 4 \right)\)

Mặt khác, trong các \(\Delta OAB\), \(\Delta OCB\), \(\Delta OAC\) theo bất đẳng thức tam giác ta có:\(\left\{ \begin{align} & OA+OB>AB \\ & OC+OB>BC \\ & OC+OA>AC \\ \end{align} \right.\)

Cộng theo từng vế của ba bất đẳng thức trên ta được:

\(2\left( OA+OB+OC \right)>AB+AC+BC\Rightarrow OA+OB+OC>\frac{AB+AC+BC}{2}\left( 5 \right)\)

Từ \(\left( 4 \right)\) và\(\left( 5 \right)\Rightarrow \)\(\frac{AB+AC+BC}{2}<OA+OB+OC<AB+AC+BC\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link