Tính thể tích V của khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm các mặt của khối bát diện

Câu hỏi số 228142:

Thông hiểu

Tính thể tích V của khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm các mặt của khối bát diện đều cạnh \(a\).

A. \(V=\frac{8{{a}^{3}}}{27}\).

B. \(V=\frac{{{a}^{3}}}{27}\).

C. \(V=\frac{16{{a}^{3}}\sqrt{2}}{27}\).

D. \(V=\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{2}}{27}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:228142

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính thể tích hình lập phương cạnh \(x\) là \(V={{x}^{3}}\).

Giải chi tiết

Lấy K là trung điểm AB, M là trung điểm CD.

Ta có hình lập phương cần tìm là QPHJ.Q’P’H’J’.

Xét tam giác SKM có Q là trọng tâm tam giác SAB và H là trọng tâm tam giác SCD.

\(\Rightarrow \frac{SQ}{SK}=\frac{SH}{SM}=\frac{2}{3}=\frac{QH}{KM}\).

Mà K là trung điểm AB và M là trung điểm CD nên \(KM=AD=a\) mà \(\frac{QH}{KM}=\frac{2}{3}\Rightarrow QH=\frac{2a}{3}\).

Xét tam giác QPH vuông cân tại P, theo định lý Pytago ta có \(Q{{P}^{2}}+P{{H}^{2}}=Q{{H}^{2}}\Leftrightarrow 2Q{{P}^{2}}=\frac{4{{a}^{2}}}{9}\Rightarrow QP=\frac{\sqrt{2}a}{3}\).

Vậy hình lập phương cần tìm có cạnh \(\frac{\sqrt{2}a}{3}\) nên nó có thể tích là \(V={{\left( \frac{\sqrt{2}a}{3} \right)}^{3}}=\frac{2\sqrt{2}{{a}^{3}}}{27}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.