Định m để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{2^x} + {3^y} = 2m\\{2^x}{.3^y} = m + 6\end{array}

Câu hỏi số 228232:

Vận dụng cao

Định m để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}
{2^x} + {3^y} = 2m\\
{2^x}{.3^y} = m + 6
\end{array} \right.\) có nghiệm :

A. (\left[ \begin{array}{l}
m \le - 2\\
m \ge 3
\end{array} \right.\)

B. \( - 2 \le m \le 3\)

C. \(m \ge 3\(

D. \(m \ge 2\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:228232

Phương pháp giải

+) Đặt \(u = {2^x},v = {3^y}\,\,\left( {u,v > 0} \right)\)

+) Rút u theo v (hoặc v theo u), rút ra phương trình bậc 2 ẩn u (hoặc v) và tìm điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm dương.

Giải chi tiết

Đặt \(u = {2^x},v = {3^y}\,\,\left( {u,v > 0} \right)\), khi đó hpt trở thành

\(\left\{ \begin{array}{l}
u + v = 2m\\
uv = m + 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
v = 2m - u\\
u\left( {2m - u} \right) = m + 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
v = 2m - u\,\,\left( * \right)\\
{u^2} - 2mu + m + 6 = 0\,\,\left( {**} \right)
\end{array} \right.\)

Đề hpt ban đầu có nghiệm thì phương trình (*) và (**) có nghiệm dương.

\(v > 0 \Rightarrow 2m - u > 0 \Rightarrow 0 < u < 2m \Rightarrow m > 0\)

Ta có \(\Delta ' = {m^2} - m - 6\)

TH1 :

\(\Delta ' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 3\\
m = - 2\,\,\left( {ktm} \right)
\end{array} \right.\)

Với m = 3 \(\left( {**} \right) \Leftrightarrow {u^2} - 6u + 9 = 0 \Leftrightarrow u = 3 \Leftrightarrow v = 3\,\,\left( {tm} \right)\)

TH2 :

\(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 3\\
m < - 2
\end{array} \right. \Rightarrow m > 3,\), khi đó phương trình (**) có nghiệm

\(\left[ \begin{array}{l}
{u_1} = m + \sqrt {{m^2} - m - 6} > 0\,\,\forall m > 3\\
{u_2} = m - \sqrt {{m^2} - m - 6}
\end{array} \right. \Rightarrow m > 3\) thỏa mãn. Vậy \(m \ge 3\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.