Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & x-2y=3-m \\ & 2x+y=3(m+2) \\\end{align} \right.\)(1), m

Câu hỏi số 229550:

Vận dụng

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{align} & x-2y=3-m \\ & 2x+y=3(m+2) \\\end{align} \right.\)(1), m là tham số.

a) Giải hệ (1) với m = 2.

b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ (1) có nghiệm duy nhất.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\), trong đó \(\left( x;y \right)\)là nghiệm duy nhất của hệ (1).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:229550

Phương pháp giải

a) Thay \(m=2\) vào hệ phương trình và sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số để giải hệ phương trình.

b) Hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align} & {{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y={{c}_{1}} \\ & {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y={{c}_{2}} \\\end{align} \right.\) có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow \frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}\ne \frac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}.\)

c) Giải hệ phương trình đã cho, tìm x, y theo m. Sau đó thế x, y vào biểu thức A. Biến đổi biểu thức A về dạng: \(A={{\left( a+b \right)}^{2}}+C\ge C\,\,\,\forall m.\) Tìm m để dấu “=” xảy ra sau đó kết luận.

Giải chi tiết

a) Với m = 2, hệ (1) trở thành:

\({\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l}
x - 2y = 1\\
2x + y = 12
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2y = 1\\
4x + 2y = 24
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5x = 25\\
2x + y = 12
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5\\
2.5 + y = 12
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5\\
y = 2
\end{array} \right.\)

Vậy với m = 2 thì nghiệm của hệ (1) là (5; 2).

b) Ta thấy: \(\frac{1}{2}\ne \frac{-2}{1}\)\(\Rightarrow \) Hệ (1) luôn có nghiệm duy nhất với mọi m.

\(\left\{ \begin{array}{l}
x - 2y = 3 - m\\
2x + y = 3(m + 2)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x - 4y = 6 - 2m\\
2x + y = 3m + 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2y = 3 - m\\
5y = 5m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2m = 3 - m\\
y = m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = m + 3\\
y = m
\end{array} \right.\)

Do đó: \(A={{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( m+3 \right)}^{2}}+{{m}^{2}}=2{{m}^{2}}+6m+9=2{{\left( m+\frac{3}{2} \right)}^{2}}+\frac{9}{2}\ge \frac{9}{2}\text{ }\forall m\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow m=-\frac{3}{2}\)

Vậy \(\min A=\frac{9}{2}\Leftrightarrow m=-\frac{3}{2}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link