Gọi \(M\) và \(m\) tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Câu hỏi số 229758:

Thông hiểu

Gọi \(M\) và \(m\) tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{2\sin x+\cos x+3}{\sin x+2\cos x+3}\).

Tính tích \(M.m\)?

A. \(1\)

B. \(3\)

C. \(2\)

D. \(\frac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:229758

Phương pháp giải

- Biến đổi hàm số trở thành phương trình bậc nhất đối với \(\sin x,\cos x\) và tham số \(y\).

- Sử dụng điều kiện để phương trình \(a\sin x+b\cos x=c\) có nghiệm \(\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}\).

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\sin x+2\cos x+3\ne 0\).

Khi đó:

\(\begin{align} & y=\frac{2\sin x+\cos x+3}{\sin x+2\cos x+3}\Leftrightarrow 2\sin x+\cos x+3=y\left( \sin x+2\cos x+3 \right) \\ & \Leftrightarrow \left( y-2 \right)\sin x+\left( 2y-1 \right)\cos x=3\left( 1-y \right)\left( * \right) \\ \end{align}\)

Phương trình (*) có nghiệm nếu và chỉ nếu \({\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {2y - 1} \right)^2} \ge 9{\left( {1 - y} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow 5{y^2} - 8y + 5 \ge 9{y^2} - 18y + 9 \Leftrightarrow 4{y^2} - 10y + 4 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le y \le 2\)

Vậy \(M=2;m=\frac{1}{2}\Rightarrow M.m=1\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.