Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Cạnh bên SA = a và vuông góc

Câu hỏi số 229880:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Cạnh bên SA = a và vuông góc với đáy. Mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt hình chóp theo một thiết diện. Tính diện tích thiết diện đó.

A. \(\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{24}\)

B. \(\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{24}\)

C. \(\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{12}\)

D. \(\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{12}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:229880

Phương pháp giải

Giả sử mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt hình chóp theo một thiết diện là tam giác ADE.

\(\begin{align} & \frac{{{V}_{S.ADE}}}{{{V}_{S.ACB}}}=\frac{SD}{SC}.\frac{SE}{SB}\Rightarrow {{V}_{S.ADE}} \\ & {{V}_{S.ADE}}=\frac{1}{3}SD.{{S}_{ADE}}\Leftrightarrow {{S}_{ADE}} \\ \end{align}\)

Giải chi tiết

Trong (SAC) qua A kẻ \(AD\bot SC\,\,\left( D\in SC \right)\), trong (SBC) qua D kẻ \(DE\bot SC\,\,\left( E\in SB \right)\). Khi đó mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt hình chóp theo một thiết diện là tam giác ADE.

Tam giác ABC vuông cân tại B nên \(AC=AB\sqrt{2}=a\sqrt{2}\)

Xét tam giác vuông SAC: \(\frac{SD}{SC}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{C}^{2}}}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\frac{1}{3}\)

Xét tam giác vuông SAB: \(\frac{SE}{SB}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{B}^{2}}}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{{{V}_{S.ADE}}}{{{V}_{S.ACB}}}=\frac{SD}{SC}.\frac{SE}{SB}=\frac{1}{6}\Rightarrow {{V}_{S.ADE}}=\frac{1}{6}{{V}_{S.ACB}}=\frac{1}{6}.\frac{1}{3}SA.\frac{1}{2}BA.BC=\frac{{{a}^{3}}}{36}\)

Mà \(SC\bot \left( ADE \right)\Rightarrow {{V}_{S.ADE}}=\frac{1}{3}SD.{{S}_{ADE}}\Rightarrow {{S}_{ADE}}=\frac{3{{V}_{S.ADE}}}{SD}=\frac{3{{V}_{S.ADE}}}{\frac{1}{3}SC}=\frac{9{{V}_{S.ADE}}}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}}=\frac{9.\frac{{{a}^{3}}}{36}}{\sqrt{{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{12}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.