Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB = a, \(\widehat{BAC}={{120}^{0}}\). Gọi I là trung
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB = a, \(\widehat{BAC}={{120}^{0}}\). Gọi I là trung điểm cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng đáy là trung điểm H của CI, góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 600. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Gọi \(D=AH\cap \left( SBC \right)\Rightarrow AH\cap \left( SBC \right)=D\Rightarrow \frac{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}{d\left( H;\left( SBC \right) \right)}=\frac{AD}{HD}\), đưa về bài toán xác định khoảng cách từ H đến (SBC).
Do \(\widehat{BAC}={{120}^{0}}\) nên \(\Delta ABC\) cân tại A.
Xét tam giác ACI có \(CI=\sqrt{A{{C}^{2}}+A{{I}^{2}}-2AC.AI.\cos {{120}^{0}}}=\frac{a\sqrt{7}}{2}\)
\(\Rightarrow AH=\sqrt{\frac{A{{C}^{2}}+A{{I}^{2}}}{2}-\frac{C{{I}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)
Ta có \(AH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow \) HA là hình chiếu của SA trên (ABC)
\(\Rightarrow \widehat{\left( SA;\left( ABC \right) \right)}=\widehat{\left( SA;HA \right)}=\widehat{SAH}={{60}^{0}}\)
Xét tam giác vuông SAH : \(SH=AH.\tan 60=\frac{3a}{4}\)
Trong (ABC) kẻ \(AE\bot BC,HF\bot BC\,\,\left( E;F\in BC \right)\), \(D=AH\cap \left( SBC \right)\)
\(\Rightarrow EH\) là đường trung bình của tam giác BCI \(\Rightarrow EH=\frac{1}{2}BI=\frac{1}{4}AB=\frac{a}{4}\)
Ta có \(AE=AB.\sin 30=\frac{a}{2}\)
Xét tam giác AEH có : \(A{{H}^{2}}+H{{E}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{4}=A{{E}^{2}}\Rightarrow \Delta AEH\) vuông tại H (Định lí Py – ta – go đảo) \(\Rightarrow AD=\frac{A{{E}^{2}}}{AH}=\frac{a\sqrt{3}}{3};HD=\frac{E{{H}^{2}}}{AH}=\frac{a\sqrt{3}}{12}\)
Ta có: \(AH\cap \left( SBC \right)=D\Rightarrow \frac{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}{d\left( H;\left( SBC \right) \right)}=\frac{AD}{HD}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{12}}=4\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=4d\left( H;\left( SBC \right) \right)\)
Trong (SHF) kẻ \(HK\bot SF\) ta có
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
SH \bot BC\\
HF \bot BC
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SHF} \right) \Rightarrow BC \bot HK\\
\left\{ \begin{array}{l}
HK \bot BC\\
HK \bot SF
\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right) = HK
\end{array}\)
Ta có : \(\frac{HF}{AE}=\frac{HD}{AD}\Rightarrow HF=\frac{AE.HD}{AD}=\frac{\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{12}}{\frac{a\sqrt{3}}{3}}=\frac{a}{8}\)
\(\Rightarrow HK=\sqrt{\frac{S{{H}^{2}}.H{{F}^{2}}}{S{{H}^{2}}+H{{F}^{2}}}}=\sqrt{\frac{{{\left( \frac{3a}{4} \right)}^{2}}.{{\left( \frac{a}{8} \right)}^{2}}}{{{\left( \frac{3a}{4} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{a}{8} \right)}^{2}}}}=\frac{3a}{4\sqrt{37}}\Rightarrow d\left( A;\left( SBC \right) \right)=4HK=\frac{3a}{\sqrt{37}}=\frac{3a\sqrt{37}}{37}\)
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
