Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) đỉnh \(S,\) có độ dài cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng
Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) đỉnh \(S,\) có độ dài cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SB\) và \(SC.\) Tính theo \(a\) diện tích tam giác \(AMN,\) biết rằng mặt phẳng \(\left( AMN \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( SBC \right).\)
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc
Gọi \(K\) là trung điểm của \(BC\) và \(I=SK\cap MN\)
Từ giả thiết \(\Rightarrow \,\,MN=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2},\) \(MN\parallel BC\)\(\Rightarrow \,\,I\) là trung điểm của \(SK\) và \(BC.\)
Ta có \(\Delta \,SAB=\Delta \,SAC\)\(\Rightarrow \) Hai trung tuyến tương ứng \(AM=AN.\)
\(\Rightarrow \,\,\Delta \,AMN\) cân tại \(A\)\(\Rightarrow \,\,AI\bot MN.\) Mà \(\left( SBC \right)\bot \left( AMN \right)\Rightarrow AI\bot \left( SBC \right)\)
\(\Rightarrow \,\,AI\bot SK.\)
Suy ra tam giác \(SAK\) cân tại \(A\,\,\Rightarrow \,\,SA=AK=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)
Khi đó \(S{{K}^{2}}=S{{B}^{2}}-B{{K}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow AI=\sqrt{S{{A}^{2}}-{{\left( \frac{SK}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{10}}{4}.\)
Vậy diện tích tam giác \(AMN\) là \({{S}_{\Delta \,AMN}}=\frac{1}{2}MN.AI=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{16}.\)
Chọn D
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
