Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) đỉnh \(S,\) có độ dài cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng

Câu hỏi số 230570:

Vận dụng

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) đỉnh \(S,\) có độ dài cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SB\) và \(SC.\) Tính theo \(a\) diện tích tam giác \(AMN,\) biết rằng mặt phẳng \(\left( AMN \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( SBC \right).\)

\({{S}_{\Delta \,AMN}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{4}.\)

\({{S}_{\Delta \,AMN}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{8}.\)

\({{S}_{\Delta \,AMN}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{12}.\)

D. \({{S}_{\Delta \,AMN}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{16}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:230570

Phương pháp giải

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Giải chi tiết

Gọi \(K\) là trung điểm của \(BC\) và \(I=SK\cap MN\)

Từ giả thiết \(\Rightarrow \,\,MN=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2},\) \(MN\parallel BC\)\(\Rightarrow \,\,I\) là trung điểm của \(SK\) và \(BC.\)

Ta có \(\Delta \,SAB=\Delta \,SAC\)\(\Rightarrow \) Hai trung tuyến tương ứng \(AM=AN.\)

\(\Rightarrow \,\,\Delta \,AMN\) cân tại \(A\)\(\Rightarrow \,\,AI\bot MN.\) Mà \(\left( SBC \right)\bot \left( AMN \right)\Rightarrow AI\bot \left( SBC \right)\)

\(\Rightarrow \,\,AI\bot SK.\)

Suy ra tam giác \(SAK\) cân tại \(A\,\,\Rightarrow \,\,SA=AK=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

Khi đó \(S{{K}^{2}}=S{{B}^{2}}-B{{K}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow AI=\sqrt{S{{A}^{2}}-{{\left( \frac{SK}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{10}}{4}.\)

Vậy diện tích tam giác \(AMN\) là \({{S}_{\Delta \,AMN}}=\frac{1}{2}MN.AI=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{16}.\)

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.