Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,\,\,\,AB=a.\) Tam giác \(SAB\) đều và

Câu hỏi số 230572:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A,\,\,\,AB=a.\) Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng \(BC\) tạo với mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) góc \({{30}^{0}}.\) Tính diện tích tam giác \(ABC.\)

\({{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}.\)

\({{S}_{\Delta \,ABC}}={{a}^{2}}\sqrt{2}.\)

\({{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{4}.\)

D. \({{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{6}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:230572

Phương pháp giải

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Giải chi tiết

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB,\) tam giác \(SAB\) đều \( \Rightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\SI \bot AB\end{array} \right.\)

Mà \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\)\(\Rightarrow \) \(SI \bot \left( {ABC} \right)\); \(\left\{ \begin{array}{l}SI \bot AC\\AB \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SAB} \right).\)

Kẻ \(BK\) vuông góc với \(SA\) tại \(K,\) ta có \(BK=\frac{a\sqrt{3}}{2},\,\,\,BK\bot \left( SAC \right).\)

Do đó, góc giữa \(BC\) và \(mp\,\,\left( SAC \right)\) là \(\widehat{BCK}\,\,\Rightarrow \,\,\widehat{BCK}={{30}^{0}}.\)

Khi đó \(BC=\frac{BK}{\sin \widehat{BCK}}=a\sqrt{3}\Rightarrow AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}.\)

Vậy diện tích tam giác \(ABC\) là \({{S}_{\Delta \,ABC}}=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}.\)

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.