Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(\widehat{BAC}={{90}^{0}},\,\,\,BC=2a,\,\,\,\widehat{ACB}={{30}^{0}}.\) Mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right).\) Biết rằng tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và tam giác \(SBC\) vuông tại \(S.\) Tính diện tích tam giác \(SAB.\)

Câu 230573:

\({{S}_{\Delta \,SAB}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}.\)

\({{S}_{\Delta \,SAB}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{4}.\)

\({{S}_{\Delta \,SAB}}=\frac{{{a}^{2}}}{4}.\)

D. \({{S}_{\Delta \,SAB}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}.\)

Câu hỏi : 230573

Phương pháp giải:

Sử dụng các định lí về hai mặt phẳng vuông góc

Đáp án : C
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB,\) tam giác \(SAB\) cân tại \(S\Rightarrow SH\bot AB.\)

Mà \(\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)\) nên \(SH\bot \left( ABC \right)\) và đặt \(SH=x.\)

Tam giác \(ABC\) vuông tại có \(\left\{ \begin{array}{l}AB = BC.\sin C = a\\AC = BC.\cos C = a\sqrt 3 \end{array} \right..\)

Ta có \(SB=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{B}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}},\) \(HC=\sqrt{H{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\frac{a\sqrt{13}}{2}\)

Và \(SC=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{13{{a}^{2}}}{4}}\)

Tam giác SBC vuông tại S nên \(S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}=B{{C}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}+{{x}^{2}}+\frac{13\,{{a}^{2}}}{4}=4{{a}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{4}\)\(\Leftrightarrow x=\frac{a}{2}\Rightarrow SH=\frac{a}{2}.\)

Vậy diện tích tam giác \(SAB\) là \({{S}_{\Delta \,SAB}}=\frac{1}{2}.SH.AB=\frac{{{a}^{2}}}{4}.\)

Chọn C

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.