Trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) cho nửa đường tròn đường kính \(AB=2R\) và điểm \(C\) thuộc

Câu hỏi số 230627:

Vận dụng

Trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) cho nửa đường tròn đường kính \(AB=2R\) và điểm \(C\) thuộc nửa đường tròn đó sao cho \(AC=R\). Trên đường thẳng vuông góc với \(\left( P \right)\) tại \(A\) lấy điểm \(S\) sao cho góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SBC \right)\) bằng \({{60}^{0}}\). Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của \(A\) lên \(SB,\,\,SC\). Độ dài cạnh \(SA\) tính theo \(R\) là

\(\frac{R}{\sqrt{2}}.\)

\(\frac{R}{2}.\)

\(\frac{R}{4}.\)

D. \(\frac{R}{2\sqrt{2}}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:230627

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng và áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Giải chi tiết

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot AK\).

Do đó \(AK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AK \bot KH\).

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AK \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow SB \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow SB \bot HK\\\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB\\\left( {SAB} \right) \supset AH \bot SB\\\left( {SAC} \right) \supset HK \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAB} \right);\left( {SBC} \right)} \right)} =\widehat {\left( {AH;HK} \right)} = \widehat {AHK} = {60^0}\end{array}\)

Xét tam giác AHK vuông tại K có:

\(AK=AH.\sin {{60}^{0}}\Leftrightarrow A{{K}^{2}}=\frac{3}{4}A{{H}^{2}}\Leftrightarrow \frac{3}{4}\frac{1}{A{{K}^{2}}}=\frac{1}{A{{H}^{2}}}\).

Đặt SA = a, áp dụng hệ thức lượng, ta được

\(\frac{1}{A{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{R}^{2}}}\) \(\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{B}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{4{{R}^{2}}}\)

Suy ra \(\frac{3}{4}\left( \frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{R}^{2}}} \right)=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{4{{R}^{2}}}\Leftrightarrow \frac{1}{4}\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{1}{2}\frac{1}{{{R}^{2}}}\Leftrightarrow {{a}^{2}}=\frac{{{R}^{2}}}{2}\Leftrightarrow a=\frac{R}{\sqrt{2}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.