Cho \((P):y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\,\,;\,\,(d):y=(m-4)x+m+1\). Gọi \({{y}_{1}};{{y}_{2}}\)là tung độ giao điểm

Câu hỏi số 230737:

Vận dụng

Cho \((P):y=\frac{1}{2}{{x}^{2}}\,\,;\,\,(d):y=(m-4)x+m+1\). Gọi \({{y}_{1}};{{y}_{2}}\)là tung độ giao điểm của 2 đồ thị (d) và (P). Tìm m để \({{y}_{1}}+{{y}_{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. \(m=\frac{2}{7}\)

B. \(m=\frac{-7}{2}\)

C. \(m=\frac{7}{2}\)

D. \(m=\frac{-2}{7}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:230737

Phương pháp giải

Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d).

+) Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm.

+) Biến đổi tung độ y theo hoành độ x.

+) Áp dụng định lí Vi-ét, biến đổi biểu thức theo tổng và tích.

+) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức, từ đó tìm giá trị của tham số m.

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) ta có:

\(\frac{1}{2}{{x}^{2}}=(m-4)x+m+1\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2(m-4)x-2m-2=0\,\,\,(*)\)

(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

\(\begin{align} & \Leftrightarrow \Delta '>0 \\ & \Leftrightarrow {{(m-4)}^{2}}-(-2m-2)>0 \\ & \Leftrightarrow {{m}^{2}}-8m+16+2m+2>0 \\ & \Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m+18>0 \\ & \Leftrightarrow {{(m-3)}^{2}}+9>0\,\,\,\,\forall m \\ \end{align}\)

Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Áp dụng định lí Vi-ét, ta có:

\({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2(m-4)\,\,;\,\,{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2m-2.\) Mà \({{y}_{1}}=(m-4){{x}_{1}}+m+1\,\,;\,\,{{y}_{2}}=(m-4){{x}_{2}}+m+1\) Ta có: \(\begin{align} & {{y}_{1}}+{{y}_{2}}=(m-4){{x}_{1}}+m+1+(m-4){{x}_{2}}+m+1 \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(m-4)({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+2m+2 \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =(m-4).2(m-4)+2m+2 \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2{{(m-4)}^{2}}+2m+2 \\ & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ \,=2{{m}^{2}}-14m+34 \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2({{m}^{2}}-7m+17) \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2\left( {{m}^{2}}-2.\frac{7}{2}m+\frac{49}{4}+\frac{19}{4} \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2{{\left( m-\frac{7}{2} \right)}^{2}}+\frac{19}{2}\ge \frac{19}{2} \\ & \Rightarrow Min\,({{y}_{1}}+{{y}_{2}})=\frac{19}{2}\Leftrightarrow m=\frac{7}{2}. \\ \end{align}\)

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link