Cho x.y là số thực dương thỏa mãn \({\log _2}x + {\log _2}y + 1 \ge {\log _2}\left( {{x^2} + 2y} \right)\).
Cho x.y là số thực dương thỏa mãn \({\log _2}x + {\log _2}y + 1 \ge {\log _2}\left( {{x^2} + 2y} \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = x + 2y\)?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Biến đổi bất đẳng thức đã cho để đánh giá điều kiện \(x > 1\), từ đó đánh giá \(P \ge f\left( x \right)\) rồi xét hàm \(f\left( x \right)\) và tìm GTNN của \(f\left( x \right)\).
Đặt \(P = x + 2y\)
Ta có: \({\log _2}x + {\log _2}y + 1 \ge {\log _2}\left( {{x^2} + 2y} \right) \Leftrightarrow xy.2 \ge {x^2} + 2y\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 2y\left( {x - 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow {x^2} \le 2y\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {x - 1}} \le 2y\) (do \(2y\left( {x - 1} \right) \ge {x^2} > 0 \Rightarrow x - 1 > 0\))
\( \Rightarrow P = x + 2y \ge x + {{{x^2}} \over {x - 1}} = {{2{x^2} - x} \over {x - 1}}\) (*)
Xét hàm \(f\left( x \right) = {{2{x^2} - x} \over {x - 1}}\) trên hai khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) ta có:
\(f'\left( x \right) = {{2{x^2} - 4x + 1} \over {{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {{2 + \sqrt 2 } \over 2} \in \left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow f\left( {{{2 + \sqrt 2 } \over 2}} \right) = 3 + 2\sqrt 2 \hfill \cr x = {{2 - \sqrt 2 } \over 2} \notin \left( {1; + \infty } \right) \hfill \cr} \right.\)
Bảng biến thiên:
Ta có: \(P \ge f\left( x \right) \ge 3 + 2\sqrt 2 \Rightarrow P \ge 3 + 2\sqrt 2 \)
Vậy GTNN của \(P\) là \(3 + 2\sqrt 2 \) khi \(x = {{2 + \sqrt 2 } \over 2},y = {{4 + 3\sqrt 2 } \over 4}\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
