Cho x.y là số thực dương thỏa mãn \({\log _2}x + {\log _2}y + 1 \ge {\log _2}\left( {{x^2} + 2y} \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = x + 2y\)?

Câu 230896: Cho x.y là số thực dương thỏa mãn \({\log _2}x + {\log _2}y + 1 \ge {\log _2}\left( {{x^2} + 2y} \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(P = x + 2y\)?

A. \(P = 9\)

B. \(P = 2\sqrt 2 + 3\)

C. \(P = 2 + 3\sqrt 2 \)

D. \(P = 3 + \sqrt 3 \)

Câu hỏi : 230896

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Biến đổi bất đẳng thức đã cho để đánh giá điều kiện \(x > 1\), từ đó đánh giá \(P \ge f\left( x \right)\) rồi xét hàm \(f\left( x \right)\) và tìm GTNN của \(f\left( x \right)\).

Đáp án : B
(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(P = x + 2y\)

Ta có: \({\log _2}x + {\log _2}y + 1 \ge {\log _2}\left( {{x^2} + 2y} \right) \Leftrightarrow xy.2 \ge {x^2} + 2y\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2y\left( {x - 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow {x^2} \le 2y\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {x - 1}} \le 2y\) (do \(2y\left( {x - 1} \right) \ge {x^2} > 0 \Rightarrow x - 1 > 0\))

\( \Rightarrow P = x + 2y \ge x + {{{x^2}} \over {x - 1}} = {{2{x^2} - x} \over {x - 1}}\) (*)

Xét hàm \(f\left( x \right) = {{2{x^2} - x} \over {x - 1}}\) trên hai khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) ta có:

\(f'\left( x \right) = {{2{x^2} - 4x + 1} \over {{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {{2 + \sqrt 2 } \over 2} \in \left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow f\left( {{{2 + \sqrt 2 } \over 2}} \right) = 3 + 2\sqrt 2 \hfill \cr x = {{2 - \sqrt 2 } \over 2} \notin \left( {1; + \infty } \right) \hfill \cr} \right.\)

Bảng biến thiên:

Ta có: \(P \ge f\left( x \right) \ge 3 + 2\sqrt 2 \Rightarrow P \ge 3 + 2\sqrt 2 \)

Vậy GTNN của \(P\) là \(3 + 2\sqrt 2 \) khi \(x = {{2 + \sqrt 2 } \over 2},y = {{4 + 3\sqrt 2 } \over 4}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.