Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-({{m}^{2}}-2)x+{{m}^{2}}\) có đồ thị là đường cong (C). Biết rằng
Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-({{m}^{2}}-2)x+{{m}^{2}}\) có đồ thị là đường cong (C). Biết rằng có 2 giá trị thực \({{m}_{1}},\,{{m}_{2}}\) của tham số \(m\) để hai điểm cực trị của (C) và hai giao điểm của (C) với trục hoành tạo thành bốn đỉnh của một hình chữ nhật. Tính \(T=m_{1}^{4}+m_{2}^{4}.\)
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
\(\begin{array}{l}y = {x^3} - 3{x^2} - ({m^2} - 2)x + {m^2}\\y' = 3{x^2} - 6x - {m^2} + 2\\y'' = 6x - 6\\y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1\end{array}\)
Gọi A, B là 2 điểm cực trị của (C); M, N là giao điểm của (C) với trục hoành (biểu diễn như hình vẽ).
Tâm đối xứng của (C): \(I(1;0)\in Ox\)
\(\Rightarrow \)M đối xứng N qua I.
\(\Rightarrow \)AMBN là hình bình hành. Như vậy, để AMBN là hình chữ nhật thì AB = MN.
* Lập phương trình đường thẳng AB:
\(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-({{m}^{2}}-2)x+{{m}^{2}},\,\,y'=3{{x}^{2}}-6x-{{m}^{2}}+2\)
Chia \(y\)cho \(y'\), ta có: \(y=\frac{1}{3}(x-1).y'-\frac{2}{3}({{m}^{2}}+1)x+\frac{2}{3}({{m}^{2}}+1)\)
\(\Rightarrow \)PT đường thẳng AB: \(y=-\frac{2}{3}({{m}^{2}}+1)x+\frac{2}{3}({{m}^{2}}+1)\,\,(d)\)
Gọi tọa độ điểm 2 điểm A, B là: \(A\left( {{x}_{1}};-\frac{2}{3}({{m}^{2}}+1){{x}_{1}}+\frac{2}{3}({{m}^{2}}+1) \right)\,,\,\,B\left( {{x}_{2}};-\frac{2}{3}({{m}^{2}}+1){{x}_{2}}+\frac{2}{3}({{m}^{2}}+1) \right)\)
Ta có: \(y'=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x-{{m}^{2}}+2=0\)
\( \Rightarrow {x_1} + {x_2} = 2,\,\,{x_1}{x_2} = \frac{{2 - {m^2}}}{3}\)
Độ dài đoạn AB:
\(\begin{array}{l}AB = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{\left[ {\left( { - \frac{2}{3}({m^2} + 1){x_2} + \frac{2}{3}({m^2} + 1)} \right) - \left( { - \frac{2}{3}({m^2} + 1){x_1} + \frac{2}{3}({m^2} + 1)} \right)} \right]}^2}} \\ = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + \frac{4}{9}{{({m^2} + 1)}^2}{{({x_2} - {x_1})}^2}} = \sqrt {\left[ {1 + \frac{{4{{({m^2} + 1)}^2}}}{9}} \right]{{({x_2} - {x_1})}^2}} = \sqrt {\left[ {1 + \frac{{4{{({m^2} + 1)}^2}}}{9}} \right]\left[ {{{({x_2} + {x_1})}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]} \\ = \sqrt {\left[ {1 + \frac{{4{{({m^2} + 1)}^2}}}{9}} \right]\left[ {{2^2} - 4.\frac{{2 - {m^2}}}{3}} \right]} = \sqrt {\left[ {1 + \frac{{4{{({m^2} + 1)}^2}}}{9}} \right]\left[ {\frac{4}{3}({m^2} + 1)} \right]} \end{array}\)
* Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành:
\({x^3} - 3{x^2} - ({m^2} - 2)x + {m^2} = 0 \Leftrightarrow (x - 1)({x^2} - 2x - {m^2}) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - 2x - {m^2} = 0\end{array} \right.\)
Tọa độ điểm các điểm M, N là: \(M({{x}_{1}}';0),\,\,N({{x}_{2}}';0)\) , với \({{x}_{1}}'+{{x}_{2}}'=2,\,\,{{x}_{1}}'.{{x}_{2}}'=-{{m}^{2}}\)
\(MN=\sqrt{{{({{x}_{2}}'-{{x}_{1}}')}^{2}}}=\sqrt{{{({{x}_{2}}'+{{x}_{1}}')}^{2}}-4{{x}_{1}}'{{x}_{2}}'}=\sqrt{{{2}^{2}}-4.(-{{m}^{2}})}=\sqrt{4({{m}^{2}}+1)}\)
\(\begin{array}{l}AB{\rm{ }} = {\rm{ }}MN \Leftrightarrow \sqrt {\left[ {1 + \frac{{4{{({m^2} + 1)}^2}}}{9}} \right]\left[ {\frac{4}{3}({m^2} + 1)} \right]} = \sqrt {4({m^2} + 1)} \Leftrightarrow \left[ {1 + \frac{{4{{({m^2} + 1)}^2}}}{9}} \right]\left[ {\frac{4}{3}({m^2} + 1)} \right] = 4({m^2} + 1)\\ \Leftrightarrow 1 + \frac{{4{{({m^2} + 1)}^2}}}{9} = 3 \Leftrightarrow \frac{{4{{({m^2} + 1)}^2}}}{9} = 2 \Leftrightarrow {({m^2} + 1)^2} = \frac{9}{2} \Leftrightarrow 2{m^4} + 4{m^2} - 7 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = \frac{{ - 2 + 3\sqrt 2 }}{2}\\{m^2} = \frac{{ - 2 - 3\sqrt 2 }}{2}\,\,(vo\,\,nghiem)\end{array} \right.\end{array}\) \(T = m_1^4 + m_2^4 = 2.{\left( {\frac{{ - 2 + 3\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 11 - 6\sqrt 2 \)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
