Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) trên

Câu hỏi số 231190:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) trên mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) là điểm \(H\) trùng với trung điểm của \(AB\), biết \(SH=a\sqrt{3}\). Gọi \(M\) là giao điểm của \(HD\) và \(AC\). Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( SCD \right)\).

\(\frac{a}{\sqrt{3}}\)

\(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\frac{3a\sqrt{3}}{4}\)

D. \(a.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:231190

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Giải chi tiết

Xét \(\Delta HAD\), có \(AC\) là tia phân giác của góc \(\widehat{HAD}\).

\(\Rightarrow \frac{AH}{AD}=\frac{HM}{MD}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{HD}{MD}=\frac{3}{2}\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}H,\,M \in HD\\HD \cap \left( {SCD} \right) = D\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {M;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{HD}}{{MD}} = \frac{3}{2}.\)

Gọi \(N\) là trung điểm của \(CD\Rightarrow HN\bot CD\).

Trong (SHN) từ \(H\) kẻ \(HK\bot SN\,\,\,\,\left( 1 \right)\), \(K\in SN\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HN\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHN} \right) \Rightarrow CD \bot HK\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow HK\bot \left( SCD \right)\).

Khi đó \(d\left( H;\left( SCD \right) \right)=HK=\frac{SH.HN}{\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{N}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{3}.a}{\sqrt{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow d\left( H;\left( SCD \right) \right)=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow d\left( M;\left( SCD \right) \right)=\frac{a}{\sqrt{3}}\).

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.