Cho tam giác ABC có BC = 16cm , đường cao AH = 12 cm. Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M thuộc cạnh

Câu hỏi số 232343:

Vận dụng

Cho tam giác ABC có BC = 16cm , đường cao AH = 12 cm. Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai đỉnh P và Q thuộc cạnh BC. Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật đó bằng 36cm².

A. M nằm trên đoạn AB sao cho \(AM=\frac{1}{3}AB\) hoặc \(AM=\frac{3}{4}AB\)

B. M nằm trên đoạn AB sao cho \(AM=\frac{1}{5}AB\) hoặc \(AM=\frac{3}{4}AB\)

C. M nằm trên đoạn AB sao cho \(AM=\frac{1}{4}AB\) hoặc \(AM=\frac{3}{4}AB\)

D. M nằm trên đoạn AB sao cho \(AM=\frac{1}{4}AB\) hoặc \(AM=\frac{3}{5}AB\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:232343

Giải chi tiết

Đặt: AK = x \(\left( 0<x<12{{;}^{{}}}cm \right)\)

\(\Rightarrow HK=AH-AK=12-x\) (m)

Tứ giác MKHQ là hình chữ nhật (vì có \(\overset{\hat{\ }}{\mathop{M}}\,=\overset{\hat{\ }}{\mathop{Q}}\,=\overset{\hat{\ }}{\mathop{H}}\,={{90}^{0}}\))\(\Rightarrow MQ=HK=12-x\) (m) Xét tam giác AHC ta có KN // HC (MNPQ là hình chữ nhật, \(K\in MN{{;}^{{}}}P,Q\in BC\))

Theo định lý Ta-let ta có: \(\frac{AK}{AH}=\frac{AN}{AC}\) (1)

Xét tam giác ABC có MN // BC, áp dụng định lý Ta-let ta có: \(\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}\) (2) Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \frac{MN}{BC}=\frac{AK}{AH}=\frac{AM}{AB}\) Thế số, ta được: \(\frac{MN}{16}=\frac{x}{12}\Leftrightarrow MN=\frac{16.x}{12}=\frac{4x}{3}\) Diện tích hình chữ nhật MNPQ là: \({{S}_{MNPQ}}=MQ.MN=\left( 12-x \right).\frac{4x}{3}=-\frac{4}{3}{{x}^{2}}+16x\) (cm²) Theo đề bài\({{S}_{MNPQ}}={{36}^{{}}}c{{m}^{2}}\) nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l} - \frac{4}{3}{x^2} + 16x = 36\\ \Leftrightarrow - 4{x^2} + 48x = 108\\ \Leftrightarrow {x^2} - 12x + 27 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 9x - 3x + 27 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 9} \right) - 3\left( {x - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 9} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 9 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {\left[ \begin{array}{l}x = 9\\x = 3\end{array} \right.^{}}^{}\left( {t/m} \right)\end{array}\) Vậy độ dài của đoạn AK bằng 3cm hoặc 9cm.

Với AK = 3cm\(\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AK}{AH}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow AM=\frac{1}{4}AB\) Với AK = 9cm \(\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AK}{AH}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow AM=\frac{3}{4}AB\)

Vậy điểm M nằm trên đoạn AB sao cho \(AM=\frac{1}{4}AB\) hoặc \(AM=\frac{3}{4}AB\) thì diện tích hình chữ nhật MNPQ bằng 36cm²

Chú ý khi giải

Đây một bài toán kết hợp giữa hình học với đại số. Nhiều em học sinh cảm thấy khó khăn khi dùng đại số để giải hình học như sử dụng hẳng đằng thức, bất đẳng thức,..Các em vốn quen với cách giải hình học chứng minh kiểu truyền thống.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link