Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-\left( m-6

Câu hỏi số 233089:

Vận dụng

Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y={{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-\left( m-6 \right)x+1\) đồng biến trên \(\left( 0;4 \right)\) là :

A. \(\left( -\infty ;6 \right]\)

B. \(\left( -\infty ;3 \right)\)

C. \(\left( -\infty ;3 \right]\)

D. \(\left[ 3;6 \right]\)

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

+) Để hàm số đồng biến trên \(\left( 0;4 \right)\) thì \(y'\ge 0\,\,\forall x\in \left( 0;4 \right)\).

Cô lập m, đưa về dạng \(f\left( x \right)\ge m\,\,\forall x\in \left( 0;4 \right)\)

+) Để \(f\left( x \right)\ge m\,\,\forall x\in \left( 0;4 \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;4 \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\), đưa về bài toán tìm GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left( 0;4 \right)\)

Giải chi tiết

Ta có : \(y'=3{{x}^{2}}-2mx-\left( m-6 \right)\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( 0;4 \right)\Leftrightarrow y'\ge 0\,\,\forall x\in \left( 0;4 \right)\) và \(y'=0\) tại một số giá trị hữu hạn.

\(\begin{align} & \ \ \ \ 3{{x}^{2}}-2mx-\left( m-6 \right)\ge 0\,\,\forall x\in \left( 0;4 \right) \\ & \Leftrightarrow 3{{x}^{2}}+6\ge m\left( 2x+1 \right) \\ \end{align}\)

Với mọi \(x\in \left( 0;4 \right)\) ta có \(2x+1>0\) nên \(f\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}+6}{2x+1}\ge m\,\,\forall x\in \left( 0;4 \right)\Leftrightarrow m\le \underset{\left( 0;4 \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=\frac{3{{x}^{2}}+6}{2x+1}\) trên \(\left( 0;4 \right)\) ta có :

\(f'\left( x \right)=\frac{6x\left( 2x+1 \right)-2\left( 3{{x}^{2}}+6 \right)}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}=\frac{6{{x}^{2}}+6x-12}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1\,\in \left( 0;4 \right) \\ & x=-2\notin \left( 0;4 \right) \\ \end{align} \right.\)

BBT :

Dựa vào BBT ta thấy \(\underset{\left( 0;4 \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=f\left( 1 \right)=3\Leftrightarrow m\le 3\)

Khi m = 3 ta có : \(y'=3{{x}^{2}}-6x+3=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}\ge 0\,\,\,\forall x\in \left( 0;4 \right)\) và \(y'=0\Leftrightarrow x=1\).

Vậy với \(m\le 3\) thì hàm số đồng biến trên \(\left( 0;4 \right)\).

Xem lời giải

Câu hỏi:233089

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.