Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 5;\ 0;\ 0 \right)\) và \(B\left( 3;\ 4;\ 0
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 5;\ 0;\ 0 \right)\) và \(B\left( 3;\ 4;\ 0 \right)\). Với C là một điểm nằm trên trục Oz, gọi H là trực tâm tam giác ABC. Khi C di động trên trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính đường tròn đó bằng:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Dễ thấy \(\left( OAB \right)\equiv \left( Oxy \right),C\in Oz\Rightarrow OC\bot \left( OAB \right)\) \(B\left( 3;4;0 \right)\Rightarrow OB=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}=5}=OA\Rightarrow \Delta OAB\) cân tại O.
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, gọi \(M=CH\cap AB\) ta có :
\(\left\{ \begin{align} & AB\bot CM \\ & AB\bot OC \\ \end{align} \right.\Rightarrow AB\bot \left( OCM \right)\Rightarrow AB\bot OM\), mà tam giác OAB cân tại O nên \(OM\bot AB\)
Gọi K là trực tâm của tam giác OAB ta có : \(\left\{ \begin{align} & BK\bot OA \\ & BK\bot OC \\ \end{align} \right.\Rightarrow BK\bot \left( OAC \right)\Rightarrow BK\bot AC\) \(\left\{ \begin{align} & AC\bot BK \\ & AC\bot BH \\ \end{align} \right.\Rightarrow AC\bot \left( BHK \right)\Rightarrow AC\bot HK\,\,\,\left( 1 \right)\)
\(AB\bot \left( OCM \right)\Rightarrow AB\bot HK\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow HK\bot \left( ABC \right)\Rightarrow HK\bot NM\Rightarrow \Delta HKM\) vuông tại H.
Ta có : M, K, (OCM) cố định, \(\widehat{KHM}={{90}^{0}}\) nên H thuộc đường tròn đường kính KM.
Dễ thấy
\(\begin{align} & \Delta BMK\backsim \Delta BNA\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{MK}{NA}=\frac{BM}{BN} \\ & \Rightarrow \frac{MK}{2}=\frac{\frac{1}{2}AB}{4}\Leftrightarrow \frac{MK}{2}=\frac{\sqrt{5}}{4}\Leftrightarrow MK=\frac{\sqrt{5}}{2} \\ \end{align}\)
Vậy khi C di động trên trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính đường tròn đó bằng \(\frac{MK}{2}=\frac{\sqrt{5}}{4}\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
