Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 5;\ 0;\ 0 \right)\) và \(B\left( 3;\ 4;\ 0

Câu hỏi số 233108:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 5;\ 0;\ 0 \right)\) và \(B\left( 3;\ 4;\ 0 \right)\). Với C là một điểm nằm trên trục Oz, gọi H là trực tâm tam giác ABC. Khi C di động trên trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính đường tròn đó bằng:

A. \(\frac{\sqrt{5}}{4}\)

B. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

C. \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)

D. \(\sqrt{3}\)

Đáp án đúng là: A

Giải chi tiết

Dễ thấy \(\left( OAB \right)\equiv \left( Oxy \right),C\in Oz\Rightarrow OC\bot \left( OAB \right)\) \(B\left( 3;4;0 \right)\Rightarrow OB=\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}=5}=OA\Rightarrow \Delta OAB\) cân tại O.

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, gọi \(M=CH\cap AB\) ta có :

\(\left\{ \begin{align} & AB\bot CM \\ & AB\bot OC \\ \end{align} \right.\Rightarrow AB\bot \left( OCM \right)\Rightarrow AB\bot OM\), mà tam giác OAB cân tại O nên \(OM\bot AB\)

Gọi K là trực tâm của tam giác OAB ta có : \(\left\{ \begin{align} & BK\bot OA \\ & BK\bot OC \\ \end{align} \right.\Rightarrow BK\bot \left( OAC \right)\Rightarrow BK\bot AC\) \(\left\{ \begin{align} & AC\bot BK \\ & AC\bot BH \\ \end{align} \right.\Rightarrow AC\bot \left( BHK \right)\Rightarrow AC\bot HK\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(AB\bot \left( OCM \right)\Rightarrow AB\bot HK\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow HK\bot \left( ABC \right)\Rightarrow HK\bot NM\Rightarrow \Delta HKM\) vuông tại H.

Ta có : M, K, (OCM) cố định, \(\widehat{KHM}={{90}^{0}}\) nên H thuộc đường tròn đường kính KM.

Dễ thấy

\(\begin{align} & \Delta BMK\backsim \Delta BNA\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{MK}{NA}=\frac{BM}{BN} \\ & \Rightarrow \frac{MK}{2}=\frac{\frac{1}{2}AB}{4}\Leftrightarrow \frac{MK}{2}=\frac{\sqrt{5}}{4}\Leftrightarrow MK=\frac{\sqrt{5}}{2} \\ \end{align}\)

Vậy khi C di động trên trục Oz thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Bán kính đường tròn đó bằng \(\frac{MK}{2}=\frac{\sqrt{5}}{4}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:233108

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.