Biết \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin 2x\cos x}{1+\cos x}dx}=-a+2\ln b\), với a, b là các số

Câu hỏi số 233214:

Thông hiểu

Biết \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin 2x\cos x}{1+\cos x}dx}=-a+2\ln b\), với a, b là các số nguyên dương. Chọn đáp án đúng?

A. a = 2b

B. a + b = 5

C. ab = 3

D. a – b + 1 = 0

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:233214

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đổi biến, đặt \(t=\cos x\)

Giải chi tiết

\(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin 2x\cos x}{1+\cos x}dx}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{2\sin x{{\cos }^{2}}x}{1+\cos x}dx}\)

Đặt \(t=\cos x\Leftrightarrow dt=-\sin xdx\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Leftrightarrow t = 1\\x = \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow t = 0\end{array} \right.\) , khi đó

\(I=-2\int\limits_{1}^{0}{\frac{{{t}^{2}}dt}{1+t}}=2\int\limits_{0}^{1}{\left( t-1+\frac{1}{1+t} \right)dt}=\left. 2\left( \frac{{{t}^{2}}}{2}-t+\ln \left| 1+t \right| \right) \right|_{0}^{1}=2\left( \frac{-1}{2}+\ln 2 \right)=-1+2\ln 2\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} a=1 \\ b=2 \\ \end{align} \right.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.