Cho \(\int\limits_{0}^{3}{\frac{x}{4+2\sqrt{x+1}}dx}=\frac{a}{3}+b\ln 2+c\ln 3\), với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c bằng :
Câu 233219: Cho \(\int\limits_{0}^{3}{\frac{x}{4+2\sqrt{x+1}}dx}=\frac{a}{3}+b\ln 2+c\ln 3\), với a, b, c là các số nguyên. Giá trị của a + b + c bằng :
A. 1
B. 2
C. 7
D. 9
Quảng cáo
+) Tính tích phân \(\int\limits_{0}^{3}{\frac{x}{4+2\sqrt{x+1}}dx}\), đưa kết quả về dạng \(\frac{a}{3}+b\ln 2+c\ln 3\).
+) Đồng nhất hệ số, tìm giá trị của a, b, c và tính tổng a + b + c.
-
Đáp án : A(6) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(t=\sqrt{x+1}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=x+1\Leftrightarrow 2tdt=dx\) và \(x={{t}^{2}}-1\)
Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Leftrightarrow t = 1\\x = 3 \Leftrightarrow t = 2\end{array} \right.\), khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^3 {\frac{x}{{4 + 2\sqrt {x + 1} }}dx} = \int\limits_1^2 {\frac{{{t^2} - 1}}{{4 + 2t}}2tdt} = \int\limits_1^2 {\frac{{{t^3} - t}}{{t + 2}}dt} \\ = \int\limits_1^2 {\left( {{t^2} - 2t + 3 - \frac{6}{{t + 2}}} \right)dt} = \left. {\left( {\frac{{{t^3}}}{3} - {t^2} + 3t - 6\ln \left| {t + 2} \right|} \right)} \right|_1^2\\ = \frac{{14}}{3} - 6\ln 4 - \left( {\frac{7}{3} - 6\ln 3} \right)\\ = \frac{7}{3} - 12\ln 2 + 6\ln 3\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 7\\b = - 12\\c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow a + b + c = 1\end{array}\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
