Tập nghiệm của bất phương trình \(\frac{|x-2|+7}{|4-x|+x+1}<2\)

Câu hỏi số 233782:

Vận dụng

Tập nghiệm của bất phương trình \(\frac{|x-2|+7}{|4-x|+x+1}<2\) là:

A. \(S=\left( -1;2 \right)\)

B. \(S=\left( -\infty ;5 \right)\)

C. \(S=\left( -\infty ;\frac{3}{2} \right)\cup \left( \frac{11}{3};+\infty \right)\)

D. \(S=\left( -1;+\infty \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:233782

Phương pháp giải

Phá dấu giá trị tuyệt đối.

\(\begin{array}{l}\left| {x - 2} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x - 2\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 2\,\\ - x + 2\,\,\,khi\,\,x < 2\end{array} \right.\\\left| {4 - x} \right| = \left\{ \begin{array}{l}4 - x\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 4\,\\ - 4 + x\,\,\,khi\,\,x > 4\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó, ta xét 3 trường hợp

TH1: \(x>4\) TH2: \(2\le x\le 4\) TH3: \(x<2\)

Giải chi tiết

Ta xét 3 trường hợp

TH1: \(x>4\)

\(\begin{array}{l}\frac{{|x - 2| + 7}}{{|4 - x| + x + 1}} < 2 \Leftrightarrow \frac{{x - 2 + 7}}{{x - 4 + x + 1}} < 2 \Leftrightarrow \frac{{x + 5}}{{2x - 3}} < 2 \Leftrightarrow \frac{{x + 5}}{{2x - 3}} - 2 < 0\\ \Leftrightarrow \frac{{x + 5 - 2\left( {2x - 3} \right)}}{{2x - 3}} < 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 3x + 11}}{{2x - 3}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < \frac{3}{2}\\x > \frac{{11}}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

So sánh với điều kiện \(x>4\) ta có \(x>4\) là nghiệm bất phương trình.

TH2: \(2\le x\le 4\)

\(\frac{|x-2|+7}{|4-x|+x+1}<2\Leftrightarrow \frac{x-2+7}{4-x+x+1}<2\Leftrightarrow \frac{x+5}{5}<2\Leftrightarrow x+5<10\Leftrightarrow x<5\)

So sánh với điều kiện \(2\le x\le 4\) ta có \(2\le x\le 4\)là nghiệm bất phương trình.

TH3: \(x<2\)

\(\frac{|x-2|+7}{|4-x|+x+1}<2\Leftrightarrow \frac{2-x+7}{4-x+x+1}<2\Leftrightarrow \frac{-x+9}{5}<2\Leftrightarrow -x+9<10\Leftrightarrow x>-1\)

So sánh với điều kiện \(x<2\) ta có \(-1<x<2\) là nghiệm bất phương trình.

Kết hợp 3 trường hợp ta có nghiệm của bất phương trình là \(S=\left( -1;+\infty \right)\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.