Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 4;6;2 \right);\,\,B\left( 2;-2;0 \right)\)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 4;6;2 \right);\,\,B\left( 2;-2;0 \right)\) vằ mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x+y+z=0\). Xét đường thẳng d thay đổi thuộc (P) và đi qua B, gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d. Biết rằng khi d thay đổi H thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính R của đường tròn đó.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
+) Gọi A’ là hình chiếu của A trên (P), điểm A’ cố định.
+) Chứng minh \(\widehat{A'HB}={{90}^{0}}\Rightarrow \) H thuộc đường tròn đường kính A’B không đổi khi d thay đổi.
+) Khi đó \(R=\frac{A'B}{2}\)
Dễ thấy \(B\in \left( P \right)\)
Gọi A’ là hình chiếu của A trên mp(P), A’ cố định.
Ta có
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{A}}{{\rm{A}}^\prime } \bot d}\\{AH \bot d}\end{array}} \right. \Rightarrow d \bot \left( {AA'H} \right) \Rightarrow d \bot A'H \Rightarrow \widehat {A'HB} = {90^0}\)
\(\Rightarrow\) khi d thay đổi điểm H luôn thuộc đường tròn đường kính A’B cố định.
Trước hết ta viết phương trình đường thẳng AA’ qua A và vuông góc với (P) nên nhận \({{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}=\left( 1;1;1 \right)\) là 1 VTCP nên có phương trình \(\left\{{\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4 + t}\\{y = 6 + t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\)
\(\begin{array}{l}A' \in AA' \Rightarrow A'\left( {4 + t;6 + t;2 + t} \right);A' \in \left( P \right) \Rightarrow 4 + t + 6 + t + 2 + t = 0 \Leftrightarrow 3t + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - 4\\ \Rightarrow A'\left( {0;2; - 2} \right)\end{array}\)
Khi đó \(A'B=\sqrt{{{\left( 2-0 \right)}^{2}}+{{\left( -2-2 \right)}^{2}}+{{\left( 0+2 \right)}^{2}}}=2\sqrt{6}\)
Vậy H luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính \(R=\frac{A'B}{2}=\sqrt{6}\)
Chọn A.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
