Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V. Gọi \({{G}_{1}},{{G}_{2}},{{G}_{3}},{{G}_{4}}\) là trọng tâm
Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V. Gọi \({{G}_{1}},{{G}_{2}},{{G}_{3}},{{G}_{4}}\) là trọng tâm của 4 mặt của tứ diện ABCD. Thể tích khối tứ diện \({{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}{{G}_{4}}\) là:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Xác định thiết diện của mặt phẳng \(\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right)\) với tứ diện ABCD. Sử dụng các tỉ số và chiều cao và diện tích đáy để suy ra tỉ số thể tích của các khối chóp.
Ta có: \(\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right)\) và (ABC) có điểm \({{G}_{1}}\) chung và \({{G}_{2}}{{G}_{3}}//GF//BC\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng là HI đi qua G1 và song song với BC.
Tương tự ta chứng minh được:
\(\begin{align} & \left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right)\cap \left( ABD \right)=HJ//BD \\ & \left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right)\cap \left( ACD \right)=IJ//CD \\ & \Rightarrow \left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right)\equiv \left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right) \\ \end{align}\)
Trong (AED): \(A{{G}_{4}}\cap J{{G}_{1}}=K\Rightarrow A{{G}_{4}}\cap \left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right)=K\)
\(\Rightarrow \frac{d\left( {{G}_{4}};\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right) \right)}{d\left( A;\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right) \right)}=\frac{{{G}_{4}}K}{AK}\)
Ta có:
\(\frac{A{{G}_{1}}}{AE}=\frac{AH}{AB}=\frac{AJ}{AD}=\frac{2}{3}\Rightarrow {{G}_{1}}J//ED\Rightarrow \frac{{{G}_{4}}K}{AK}=\frac{E{{G}_{1}}}{A{{G}_{1}}}=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow {{V}_{{{G}_{4}}.{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}}}=\frac{1}{3}d\left( {{G}_{4}};\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right) \right).{{S}_{{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}d\left( A;\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right) \right).{{S}_{{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}}}=\frac{1}{2}{{V}_{A.{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}}}\)
Dễ dàng chứng minh được \(\Delta {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}\backsim \Delta JIH\) theo tỉ số \(k=\frac{1}{2}\Rightarrow {{S}_{{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}}}=\frac{1}{4}{{S}_{HIJ}}\Rightarrow {{V}_{A.{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}}}=\frac{1}{4}{{V}_{A.HIJ}}\)
\(\begin{align} & \frac{{{V}_{A.HIJ}}}{{{V}_{A.BCD}}}=\frac{AH}{AB}.\frac{AI}{AC}.\frac{AJ}{AD}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}=\frac{8}{27}\Rightarrow {{V}_{A.HIJ}}=\frac{8}{27}{{V}_{A.BCD}} \\ & \Rightarrow {{V}_{{{G}_{4}}.{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{4}.\frac{8}{27}=\frac{1}{27}V \\ \end{align}\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
