Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V. Gọi \({{G}_{1}},{{G}_{2}},{{G}_{3}},{{G}_{4}}\) là trọng tâm

Câu hỏi số 235295:

Vận dụng

Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V. Gọi \({{G}_{1}},{{G}_{2}},{{G}_{3}},{{G}_{4}}\) là trọng tâm của 4 mặt của tứ diện ABCD. Thể tích khối tứ diện \({{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}{{G}_{4}}\) là:

A. \(\frac{V}{27}\)

B. \(\frac{V}{18}\)

C. \(\frac{V}{4}\)

D. \(\frac{V}{12}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:235295

Phương pháp giải

Xác định thiết diện của mặt phẳng \(\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right)\) với tứ diện ABCD. Sử dụng các tỉ số và chiều cao và diện tích đáy để suy ra tỉ số thể tích của các khối chóp.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right)\) và (ABC) có điểm \({{G}_{1}}\) chung và \({{G}_{2}}{{G}_{3}}//GF//BC\) nên giao tuyến của hai mặt phẳng là HI đi qua G₁ và song song với BC.

Tương tự ta chứng minh được:

\(\begin{align} & \left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right)\cap \left( ABD \right)=HJ//BD \\ & \left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right)\cap \left( ACD \right)=IJ//CD \\ & \Rightarrow \left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right)\equiv \left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right) \\ \end{align}\)

Trong (AED): \(A{{G}_{4}}\cap J{{G}_{1}}=K\Rightarrow A{{G}_{4}}\cap \left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right)=K\)

\(\Rightarrow \frac{d\left( {{G}_{4}};\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right) \right)}{d\left( A;\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right) \right)}=\frac{{{G}_{4}}K}{AK}\)

Ta có:

\(\frac{A{{G}_{1}}}{AE}=\frac{AH}{AB}=\frac{AJ}{AD}=\frac{2}{3}\Rightarrow {{G}_{1}}J//ED\Rightarrow \frac{{{G}_{4}}K}{AK}=\frac{E{{G}_{1}}}{A{{G}_{1}}}=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow {{V}_{{{G}_{4}}.{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}}}=\frac{1}{3}d\left( {{G}_{4}};\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right) \right).{{S}_{{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}}}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}d\left( A;\left( {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}} \right) \right).{{S}_{{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}}}=\frac{1}{2}{{V}_{A.{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}}}\)

Dễ dàng chứng minh được \(\Delta {{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}\backsim \Delta JIH\) theo tỉ số \(k=\frac{1}{2}\Rightarrow {{S}_{{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}}}=\frac{1}{4}{{S}_{HIJ}}\Rightarrow {{V}_{A.{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}}}=\frac{1}{4}{{V}_{A.HIJ}}\)

\(\begin{align} & \frac{{{V}_{A.HIJ}}}{{{V}_{A.BCD}}}=\frac{AH}{AB}.\frac{AI}{AC}.\frac{AJ}{AD}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{3}}=\frac{8}{27}\Rightarrow {{V}_{A.HIJ}}=\frac{8}{27}{{V}_{A.BCD}} \\ & \Rightarrow {{V}_{{{G}_{4}}.{{G}_{1}}{{G}_{2}}{{G}_{3}}}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{4}.\frac{8}{27}=\frac{1}{27}V \\ \end{align}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.