Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng BC tạo với mặt phẳng (SAC) góc \({{30}^{0}}\). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Sử dụng các phương pháp xác định góc – khoảng cách trong không gian
Gọi I là trung điểm của \(AB\Rightarrow SI\bot AB\Rightarrow SI\bot \left( ABC \right)\) và \(SI=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Kẻ \(BK\bot SA\) với \(K\in SA\) ta có \(BK=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) và:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AC \bot AB\\AC \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AC \bot BK\\\left\{ \begin{array}{l}BK \bot SA\\BK \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BK \bot \left( {SAC} \right)\end{array}\)
Do đó
\(\widehat{\left( BC;\left( SAC \right) \right)}=\widehat{\left( BC;CK \right)}=\widehat{BCK}={{30}^{0}}\Rightarrow BC=\frac{BK}{\sin 30}=a\sqrt{3}\).
\(\Rightarrow AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}\)
Kẻ \(IH\bot BC\), kẻ \(IO\bot SH\) với \(H\in BC\), \(O\in SH\).
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot IH\\BC \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SIH} \right) \Rightarrow BC \bot IO\\\left\{ \begin{array}{l}IO \bot BC\\IO \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow IO \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {I;\left( {SBC} \right)} \right) = 2IO\end{array}\).
Ta có \(\sin \widehat{ABC}=\frac{AC}{BC}=\frac{IH}{IB}\Rightarrow IH=\frac{a\sqrt{2}.\frac{a}{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}\).
Khi đó xét tam giác vuông SIH có:
\(\frac{1}{I{{O}^{2}}}=\frac{1}{S{{I}^{2}}}+\frac{1}{I{{H}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{a\sqrt{6}}{6} \right)}^{2}}}\Rightarrow IO=\frac{a\sqrt{66}}{22}\).
Vậy \(d\left( A;\left( SBC \right) \right)=2IO=\frac{a\sqrt{66}}{11}\).
Chọn D.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
