Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = 2a và tam giác ABC có góc A bằng \({{120}^{0}}\) và \(BC=2a\). Tính
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = 2a và tam giác ABC có góc A bằng \({{120}^{0}}\) và \(BC=2a\). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo \(a\)
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Xác định chính xác vị trí của tâm mặt cầu.
- Sử dụng định lý Sin, tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy
\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\)
Trong đó, R: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì SA = SB = SC nên hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\Rightarrow SO\bot (ABC)\).
Gọi M là trung điểm của SC.
Trong mặt phẳng (SOC), dựng \(MI\bot SC,\,\,I\in SO\).
Vì \(I\in SO\Rightarrow IA=IB=IC\)
\(I\in IM\Rightarrow IS=IC\)
\(\Rightarrow IA=IB=IC=IS\Rightarrow \) I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
Áp dụng định lý Sin, ta có : \(\frac{BC}{\sin A}=2r\) (r: bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)
\(\Leftrightarrow \frac{2a}{\sin {{120}^{0}}}=2r\Leftrightarrow r=\frac{2a}{\sqrt{3}}\)
Tam giác SOC vuông tại O: \(S{{O}^{2}}=S{{C}^{2}}-O{{C}^{2}}={{(2a)}^{2}}-{{\left( \frac{2a}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}=\frac{8a}{3}\Rightarrow SO=a\sqrt{\frac{8}{3}}\).
Dễ dàng chứng minh: \(\Delta SMI\) đồng dạng \(\Delta SOC\Rightarrow \frac{SI}{SC}=\frac{SM}{SO}\Leftrightarrow \frac{SI}{2a}=\frac{a}{a\sqrt{\frac{8}{3}}}\Rightarrow SI=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)
Vậy, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng \(SI=\frac{a\sqrt{6}}{2}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
