Cho tứ diện đều ABCD có cạnh đáy bằng 3. Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc

Câu hỏi số 236974:

Vận dụng cao

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh đáy bằng 3. Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc cạnh BC, BD sao cho mặt phẳng (AMN) luôn vuông góc với mặt phẳng (BCD). Gọi V₁, V₂ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ABMN. Tính V₁ + V₂?

A. \(\frac{17\sqrt{2}}{8}\)

B. \(\frac{51\sqrt{2}}{16}\)

C. \(\frac{\sqrt{2}}{4}\)

D. \(\frac{51\sqrt{2}}{8}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:236974

Phương pháp giải

Công thức tính thể tích khối chóp: \(V=\frac{1}{3}h{{S}_{d}}.\)

Giải chi tiết

Tứ diện ABCD đều, gọi H là tâm tam giác đều BCD \(\Rightarrow AH\bot \left( BCD \right)\)

Có \(\left( AMN \right)\bot \left( BCD \right)\Rightarrow \left( AMN \right)\supset AH\Rightarrow H\in MN\)

\(\Rightarrow {{V}_{ABMN}}=\frac{1}{3}AH.{{S}_{BMN}}\), với AH không đổi.

Dễ thấy diện tích tam giác BMN nhỏ nhất khi và chỉ khi tam giác BMN đều, khi đó MN // CD

\(\frac{BM}{BC}=\frac{BH}{BE}=\frac{2}{3}\Rightarrow BM=\frac{2}{3}BC=2\Rightarrow {{S}_{BM{{N}_{\min }}}}=\frac{{{2}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}\)

Diện tích tam giác BMN lớn nhất khi và chỉ khi \(N\equiv D\) hoặc \(M\equiv C\) , khi đó \({{S}_{BM{{N}_{\max }}}}=\frac{1}{2}{{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\frac{{{3}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{8}\)

Có \(BH=\frac{2}{3}BE=\frac{2}{3}.\frac{3\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\Rightarrow AH=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{3}^{2}}-{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=\sqrt{6}\)

\(\begin{align} & \Rightarrow {{V}_{1}}=\frac{1}{3}AH.{{S}_{BM{{N}_{\text{max}}}}}=\frac{1}{3}\sqrt{6}.\frac{9\sqrt{3}}{8}=\frac{9\sqrt{2}}{8} \\ & \,\,\,\,\,\,{{V}_{2}}=\frac{1}{3}AH.{{S}_{BM{{N}_{\text{min}}}}}=\frac{1}{3}\sqrt{6}.\sqrt{3}=\sqrt{2} \\ & \Rightarrow {{V}_{1}}+{{V}_{2}}=\frac{17\sqrt{2}}{8} \\ \end{align}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.