Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm

Câu hỏi số 236986:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC bằng \(\frac{3a}{4}\). Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:

A. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}\)

B. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\)

C. \(\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}\)

D. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:236986

Phương pháp giải

+) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC \(\Rightarrow A'G\bot \left( ABC \right)\)

+) \(d\left( AA';BC \right)=d\left( AA';\left( BCC'B' \right) \right)\)

+) Tính thể tích khối lăng trụ \({{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'G.{{S}_{ABC}}\)

Giải chi tiết

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow A'G\bot \left( ABC \right)\)

\(AA'//BB'\Rightarrow d\left( AA';BC \right)=d\left( AA';\left( BCC'C \right) \right)\)

Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC, B’C’ ta có:

\(\left\{ \begin{align} & BC\bot AD \\ & BC\bot A'G \\ \end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( AA'ED \right)\Rightarrow \left( BCC'D' \right)\bot \left( AA'ED \right)\)

Trong (AA’ED) kẻ \(AH\bot DE\) ta có :

\(AH\bot \left( BCC'D' \right)\Rightarrow d\left( AA';BC \right)=AH=\frac{3a}{4}\)

Tam giác ABC đều cạnh a \(\Rightarrow AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AG=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow AA'=\sqrt{A'{{G}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{3}}\)

Ta có:

\(\begin{align} & AH.AA'=A'G.AD\Leftrightarrow \frac{3a}{4}.\sqrt{A'{{G}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{3}}=A'G.\frac{a\sqrt{3}}{2} \\ & \Leftrightarrow \frac{9}{16}\left( A'{{G}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{3} \right)=\frac{3}{4}A'{{G}^{2}} \\ & \Leftrightarrow \frac{3}{16}A'{{G}^{2}}=\frac{3}{16}{{a}^{2}}\Rightarrow A'G=a \\ & {{S}_{ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\Rightarrow {{V}_{ABC.A'B'C'}}=A'G.{{S}_{ABC}}=a.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4} \\ \end{align}\)

Chú ý khi giải

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.