Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x

Câu hỏi số 237007:

Vận dụng

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)={{\sin }^{2016}}x+{{\cos }^{2016}}x\) trên R. Khi đó:

A. \(M=1,m=\frac{1}{{{2}^{2018}}}\)

B. \(M=1,m=\frac{1}{{{2}^{1017}}}\)

C. \(M=2,m=\frac{1}{{{2}^{1007}}}\)

D. \(M=1,m=0\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:237007

Phương pháp giải

\(f\left( x \right)={{\sin }^{2016}}x+{{\cos }^{2016}}x={{\left( {{\sin }^{2}}x \right)}^{1008}}+{{\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)}^{1008}}\)

Đặt \(t={{\sin }^{2}}x\,\,\left( 0\le t\le 1 \right)\), đưa về bài toán tìm GTNN và GTLN của hàm số \(f\left( t \right)\) trên \(\left[ 0;1 \right]\)

Giải chi tiết

\(f\left( x \right)={{\sin }^{2016}}x+{{\cos }^{2016}}x={{\left( {{\sin }^{2}}x \right)}^{1008}}+{{\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)}^{1008}}\)

Đặt \(t={{\sin }^{2}}x\,\,\left( 0\le t\le 1 \right)\) ta có: \(f\left( t \right)={{t}^{1008}}+{{\left( 1-t \right)}^{1008}}\)

Có :

\(\begin{align} & f'\left( t \right)=1008{{t}^{1007}}-1008{{\left( 1-t \right)}^{1007}}=0 \\ & \Leftrightarrow {{t}^{1007}}={{\left( 1-t \right)}^{1007}} \\ & \Leftrightarrow t=1-t\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\in \left[ 0;1 \right] \\ & f\left( 0 \right)=1 \\ & f\left( 1 \right)=1 \\ & f\left( \frac{1}{2} \right)=2.{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{1008}}=\frac{1}{{{2}^{1007}}} \\ & \Rightarrow M=1,\,m=\frac{1}{{{2}^{1007}}} \\ \end{align}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.