Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x\). Đặt \({{f}^{k}}\left( x \right)=f\left(

Câu hỏi số 237006:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x\). Đặt \({{f}^{k}}\left( x \right)=f\left( {{f}^{k-1}}\left( x \right) \right)\) (với k là số tự nhiên lớn hơn 1). Tính số nghiệm của phương trình \({{f}^{8}}\left( x \right)=0\)

A. 3281

B. 3280

C. 6561

D. 6562

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:237006

Giải chi tiết

Ta có đồ thị hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x\) như sau:

Dựa vào đồ thị hàm số ta có thể suy ra số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right)=m\) như sau:

\(\left[ \begin{align} & m<0 \\ & m>4 \\\end{align} \right.\Rightarrow \) phương trình có 1 nghiệm duy nhất.

\(\left[ \begin{align} & m=0 \\ & m=4 \\\end{align} \right.\Rightarrow \) phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

\(0<m<4\Rightarrow \) phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Xét phương trình \({{f}^{2}}\left( x \right)=0\Leftrightarrow {{\left( f\left( x \right) \right)}^{3}}-6{{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}+9f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & f\left( x \right)=0 \\ & f\left( x \right)=3 \\ \end{align} \right.\)

Ta thấy phương trình \(f\left( x \right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt, phương trình \(f\left( x \right)=3\) có 3 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình \({{f}^{2}}\left( x \right)=0\) có 5 nghiệm phân biệt

Xét phương trình \({{f}^{3}}\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)=0\Leftrightarrow {{\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)}^{3}}-6{{\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)}^{2}}+9{{f}^{2}}\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{f}^{2}}\left( x \right)=0 \\ & {{f}^{2}}\left( x \right)=3 \\ \end{align} \right.\)

Phương trình \({{f}^{2}}\left( x \right)=0\) có 2 + 3 nghiệm phân biệt.

Phương trình \({{f}^{2}}\left( x \right)=3\Leftrightarrow {{\left( f\left( x \right) \right)}^{3}}-6{{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}+9f\left( x \right)=3\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & f\left( x \right)\approx 3,88\in \left( 0;4 \right) \\ & f\left( x \right)\approx 1,65\in \left( 0;4 \right) \\ & f\left( x \right)\approx 0,46\in \left( 0;4 \right) \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow \) phương trình \({{f}^{2}}\left( x \right)=3\) có 9 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình \({{f}^{3}}\left( x \right)=0\) có \(2+3+{{3}^{2}}\) nghiệm phân biệt.

Xét phương trình \({{f}^{4}}\left( x \right)=0\Leftrightarrow f\left( {{f}^{3}}\left( x \right) \right)=0\Leftrightarrow {{\left( {{f}^{3}}\left( x \right) \right)}^{3}}-6{{\left( {{f}^{3}}\left( x \right) \right)}^{2}}+9{{f}^{3}}\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{f}^{3}}\left( x \right)=0 \\ & {{f}^{3}}\left( x \right)=3 \\ \end{align} \right.\)

Phương trình \({{f}^{3}}\left( x \right)=0\) có nghiệm phân biệt (cmt).

Phương trình

\({{f}^{3}}\left( x \right)=3\Leftrightarrow {{\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)}^{3}}-6{{\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)}^{2}}+9{{f}^{2}}\left( x \right)=3\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{f}^{2}}\left( x \right)\approx 3,88\in \left( 0;4 \right) \\ & {{f}^{2}}\left( x \right)\approx 1,65\in \left( 0;4 \right) \\ & {{f}^{2}}\left( x \right)\approx 0,46\in \left( 0;4 \right) \\ \end{align} \right.\)

Biện luận tương tự như trên ta thấy mỗi phương trình \({{f}^{2}}\left( x \right)=m\) có 9 nghiệm phân biệt. Vậy phương trình \({{f}^{4}}\left( x \right)=0\) có \(2+3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}\) nghiệm.

Cứ như vậy ta tính được phương trình \({{f}^{8}}\left( x \right)=0\) có \(2+3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+...+{{3}^{7}}=2+\frac{3\left( 1-{{3}^{7}} \right)}{1-3}=3281\) nghiệm.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.