Cho hình chóp S ABC . có SA = 3a. , SA tạo với đáy một góc 600 . Tam giác ABC vuông tại B,góc ACB =

Câu hỏi số 237217:

Nhận biết

Cho hình chóp S ABC . có SA = 3a. , SA tạo với đáy một góc 60⁰ . Tam giác ABC vuông tại B,góc ACB = 30 . G là trọng tâm tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB) và (SGC) cùng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp S.ABC theo a là:

A. \(\frac{243{{a}^{3}}}{64}\)

B. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}\)

C. \(\frac{{{a}^{3}}\sqrt{13}}{12}\)

D. \(\frac{243{{a}^{3}}}{12}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:237217

Phương pháp giải

+ Trong tam giác ABC có AM là đường trung tuyến \(\Rightarrow A{{M}^{2}}=\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{2}-\frac{B{{C}^{2}}}{4}\)

Giải chi tiết

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SGB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SGC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SGB} \right) \cap \left( {SGC} \right) = SG\end{array} \right. \Rightarrow SG \bot \left( {ABC} \right)\) SA hợp với đáy 1 góc 60 độ \(\Leftrightarrow \)\(\widehat{SAG}={{60}^{0}}\Rightarrow SG=SA.\sin 60=\frac{3\sqrt{3}a}{2};\,\,GA=SA.\cos 60=\frac{3a}{2}\)

+ Gọi M là trung điểm của BC \(\Rightarrow A;G;M\)thẳng hàng (vì G là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow \) G thuộc đường trung tuyến AM) \(\Rightarrow AM=\frac{3}{2}.GA=\frac{9}{4}a\)

Đặt AB = x, ta có: \(BC=AB.\cot 30=x\sqrt{3}\Rightarrow AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=2x\)

Trong tam giác ABC có AM là đường trung tuyến

\(\begin{array}{l}A{M^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4} = \frac{{{x^2} + 3{x^2}}}{2} - \frac{{4{x^2}}}{4} = {x^2} \Rightarrow AM = x = \frac{9}{4}a\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.BC = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.{x^2} = \frac{{81\sqrt 3 }}{{32}}.{a^2}.\\{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SG.{S_{ABC}} = \frac{{243{a^3}}}{{64}}\end{array}\)

Chọn đáp án A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.