Cho \(\int\limits_{4}^{5}{\frac{dx}{{{x}^{2}}+3x+2}}=a\ln 2+b\ln 3+c\ln 5+d\ln 7\) với a, b, c, d là các số

Câu hỏi số 237915:

Thông hiểu

Cho \(\int\limits_{4}^{5}{\frac{dx}{{{x}^{2}}+3x+2}}=a\ln 2+b\ln 3+c\ln 5+d\ln 7\) với a, b, c, d là các số nguyên. Tính \(P=ab+cd\)

A. P = 5

B. P = 3

C. P = – 4

D. P = 2

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:237915

Phương pháp giải

\(\frac{1}{{{x}^{2}}+3x+2}=\frac{1}{\left( x+1 \right)\left( x+2 \right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}\) , đồng nhất hệ số tìm hằng số A, B và sử dụng công thức \(\int{\frac{1}{ax+b}dx}=\frac{1}{a}\ln \left| ax+b \right|+C\)

Giải chi tiết

Ta có :

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{x^2} + 3x + 2}} = \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x + 2 - \left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}\\ \Rightarrow \int\limits_4^5 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 3x + 2}}} = \int\limits_4^5 {\left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx} = \left. {\ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x + 2}}} \right|} \right|_4^5 = \ln \frac{6}{7} - \ln \frac{5}{6} = \ln \frac{{36}}{{35}}\\ = \ln 36 - \ln 35\\ = 2\ln 6 - \left( {\ln 5 + \ln 7} \right)\\ = 2\ln 2 + 2\ln 3 - \ln 5 - \ln 7\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\\c = - 1\\d = - 1\end{array} \right. \Rightarrow ab + cd = 4 + 1 = 5\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.