Tính tích phân

Câu hỏi số 237927:

Vận dụng cao

Tính tích phân \(\int\limits_{1}^{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}{\frac{-4{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-3}{{{x}^{4}}+1}dx}=\frac{\sqrt{2}}{8}\left( a\sqrt{3}+b+c\pi \right)+4\), với a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu thức \(a+{{b}^{2}}+{{c}^{4}}\)

A. 20

B. 241

C. 196

D. 48

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:237927

Phương pháp giải

+) Bậc của tử bằng bậc của mẫu \(\Rightarrow \) chia tử cho mẫu.

+) Xét tích phân \({{I}_{1}}=\int\limits_{1}^{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}{\frac{{{x}^{2}}+1}{{{x}^{4}}+1}dx}=\int\limits_{1}^{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}{\frac{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}{{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}dx}=\int\limits_{1}^{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}{\frac{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}{{{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{2}}+2}dx}\) , đặt \(x-\frac{1}{x}=t\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{ - 4{x^4} + {x^2} - 3}}{{{x^4} + 1}}dx} = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\left( { - 4 + \frac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} + 1}}} \right)dx} = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} { - 4dx} + \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} + 1}}dx} \\ = \left. { - 4x} \right|_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} + I = 2\left( {2 - \sqrt 6 - \sqrt 2 } \right) + {I_1}\end{array}\)

Xét \({I_1} = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} + 1}}dx} = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}}}dx} = \int\limits_1^{\frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2}} {\frac{{1 + \frac{1}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2} + 2}}dx} \)

Đặt \(x-\frac{1}{x}=t\Leftrightarrow \left( 1+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)dx=dt\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 2 }}{2} \Rightarrow t = \sqrt 2 \end{array} \right.\) , khi đó ta có :\({{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{\sqrt{2}}{\frac{dt}{{{t}^{2}}+2}}\)

Đặt \(t=\sqrt{2}\tan u\Rightarrow dt=\sqrt{2}\left( 1+{{\tan }^{2}}u \right)du\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}t = 0 \Leftrightarrow u = 0\\t = \sqrt 2 \Rightarrow u = \frac{\pi }{4}\end{array} \right. \Rightarrow {I_1} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sqrt 2 \left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du}}{{2\left( {{{\tan }^2}u + 1} \right)}}} = \left. {\frac{1}{{\sqrt 2 }}u} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\frac{\pi }{4} = \frac{{\pi \sqrt 2 }}{8}\)

Vậy \(I = 2\left( {2 - \sqrt 6 - \sqrt 2 } \right) + \frac{{\pi \sqrt 2 }}{8} = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\left( { - 16\sqrt 3 - 16 + \pi } \right) + 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 16\\b = - 16\\c = 1\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow a+{{b}^{2}}+{{c}^{4}}=241\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.