Cho số thực x, chứng minh rằng: a) \({{x}^{4}}+3\ge 4x\) b)

Câu hỏi số 239810:

Vận dụng cao

Cho số thực x, chứng minh rằng:

a) \({{x}^{4}}+3\ge 4x\)

b) \({{x}^{4}}+5>{{x}^{2}}+4x\)

c) \({{x}^{12}}+{{x}^{4}}+1>{{x}^{9}}+x\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:239810

Phương pháp giải

Biến đổi tương đương các bất đẳng thức, sử dụng các hằng đẳng thức để chứng minh.

Giải chi tiết

a) Bất đẳng thức tương đương với \({{x}^{4}}-4x+3\ge 0\)

\(\begin{align} & \Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x-3 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)\ge 0 \\ & \Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}+1 \right]\ge 0 \\ \end{align}\)

(luôn đúng với mọi số thực x)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1.

b) Bất đẳng thức tương đương với \({{x}^{4}}-{{x}^{2}}-4x+5>0\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1+{{x}^{2}}-4x+4>0\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}>0\)

Ta có: \(\left( {{x}^{2}}-1 \right)\ge 0,\,\,{{\left( x-2 \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-1 \right)+{{\left( x-2 \right)}^{2}}\ge 0\)

Dấu bằng xảy ra\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 1 = 0\\
x - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \pm 1\\
x = 2
\end{array} \right. \Rightarrow \)không xảy ra.

\(\Rightarrow {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}>0\) (đpcm).

c) Bất đẳng thức tương đương với \({{x}^{12}}-{{x}^{9}}+{{x}^{4}}-x+1>0\)

Với \(x<1\) ta có: \({{x}^{12}}-{{x}^{9}}+{{x}^{4}}-x+1={{x}^{12}}+{{x}^{4}}\left( 1-{{x}^{5}} \right)+\left( 1-x \right)\)

Ta có: \(x<1\Leftrightarrow {{x}^{5}}<1\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 1-{{x}^{5}}>0 \\ & 1-x>0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{x}^{12}}+{{x}^{4}}\left( 1-{{x}^{5}} \right)+\left( 1-x \right)>0\)

Với \(x\ge 1\) ta có: \({{x}^{12}}-{{x}^{9}}+{{x}^{4}}-x+1={{x}^{9}}\left( {{x}^{3}}-1 \right)+x\left( {{x}^{3}}-1 \right)+1\)

Do \(x\ge 1\Rightarrow {{x}^{3}}\ge 1\Rightarrow {{x}^{3}}-1\ge 0\) , do đó \({{x}^{9}}\left( {{x}^{3}}-1 \right)+x\left( {{x}^{3}}-1 \right)+1>0\)

Vậy ta có: \({{x}^{12}}-{{x}^{9}}+{{x}^{4}}-x+1>0\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link