Cho hàm số \(y = {{x + 2} \over {x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi d là khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của d?

Câu 240893: Cho hàm số \(y = {{x + 2} \over {x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi d là khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến một tiếp tuyến bất kỳ của đồ thị \(\left( C \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của d?

A. \(3\sqrt 3 \)

B. \(2\sqrt 2 \)

C. \(\sqrt 6 \)

D. \(\sqrt 3 \)

Câu hỏi : 240893

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\).

Tính khoảng cách từ điểm A đến d.

Tìm GTLN của khoảng cách d.

Đáp án : C
(6) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có \(y' = {{ - 3} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là:

\(\eqalign{ & y = {{ - 3} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + 1 + {3 \over {{x_0} - 1}} \cr & \Leftrightarrow {{ - 3} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}x - y + {{3{x_0}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + 1 + {3 \over {{x_0} - 1}} = 0\,\,\,\left( \Delta \right) \cr & \Rightarrow d\left( {A;\Delta } \right) = {{\left| {{{ - 3} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} - 1 + {{3{x_0}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + 1 + {3 \over {{x_0} - 1}}} \right|} \over {\sqrt {{9 \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4}}} + 1} }} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {{\left| {{{ - 3 + 3{x_0} + 3{x_0} - 3} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}} \right|} \over {\sqrt {{9 \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4}}} + 1} }} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {{{{\left| {6{x_0} - 6} \right|} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}} \over {{{\sqrt {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9} } \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}}} = {{6\left| {{x_0} - 1} \right|} \over {\sqrt {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9} }} = 6\sqrt {{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^4} + 9}}} \cr} \)

Đặt \(t = {\left( {{x_0} - 1} \right)^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow d = 6\sqrt {{t \over {{t^2} + 9}}} \)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t \over {{t^2} + 9}}\,\,\,\left( {t > 0} \right)\)

Có \(f'\left( t \right) = {{{t^2} + 9 - t.2t} \over {{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}} = {{ - {t^2} + 9} \over {{{\left( {{t^2} + 9} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow t = 3\)

\(f\left( 3 \right) = {3 \over {18}} = {1 \over 6} \Rightarrow d = \sqrt 6 \Rightarrow {d_{max}} = \sqrt 6 \)

Chọn C.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.