Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, \(SA\bot (ABCD)\), \(SA=a\sqrt{3}\). Gọi M

Câu hỏi số 241357:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, \(SA\bot (ABCD)\), \(SA=a\sqrt{3}\). Gọi M là trung điểm của SD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CM.

A. \(\frac{2a\sqrt{3}}{3}\).

B. \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

C. \(\frac{a\sqrt{3}}{4}\).

D. \(\frac{3a}{4}\).

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

Chuyển từ bài toán tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau sang bài toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Giải chi tiết

AB // CD\(\Rightarrow AB//(SCD)\supset CM\)

\(\Rightarrow d\left( AB,CM \right)=d\left( AB;(SCD) \right)=d(A,(SCD))\)

Kẻ \(AH\bot SD,\,\,H\in SD\,\,\left( 1 \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{align} CD\bot AD \\ CD\bot SA \\ \end{align} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow SD\bot AH\,\,\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow d\left( A;\left( SCD \right) \right)=AH\Rightarrow d\left( AB,CM \right)=AH\).

Tam giác SAD vuông tại A, \(AH\bot SD,\,\,H\in SD\), suy ra:

\(\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{D}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{4}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow A{{H}^{2}}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Vậy khoảng cách giữa 2 đường thẳng CM và AB là \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:241357

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.