Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều, đường cao SH với H nằm trong tam giác ABC và 2SH =
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều, đường cao SH với H nằm trong tam giác ABC và 2SH = BC, (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc \({{60}^{0}}\). Biết có một điểm O nằm trên đường cao SH sao cho \(d(O;AB)=d(O;AC)=2d(O;(SBC))=1\). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gọi I là trung điểm của BC. Kẻ :
\(\begin{align} HJ\bot BC,\,\,(J\in BC);\,\,OM\bot AC,\,\,\left( M\in AC \right);\,\, \\ ON\bot AB,\,\left( N\in AB \right)\,\,;\,\,OK\bot SJ,\,\left( K\in SJ \right) \\ \end{align}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{align} HJ\bot BC \\ SH\bot BC \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow BC\bot (SHJ)\Rightarrow BC\bot OK\)
Mà \(OK\bot SJ\Rightarrow OK\bot (SBC)\Rightarrow d(O,(SBC)=OK\).
Theo đề bài, ta có: \(OM=ON=2OK=1\).
Dễ dàng chứng minh được: \(\Delta OMH=\Delta ONH\,\,(ch-cgv)\Rightarrow HM=HN\)
\(\Delta AHM=\Delta AHN\,\,(ch-cgv)\Rightarrow \widehat{MAH}=\widehat{NAH}\Rightarrow AH\) là phân giác góc A.
Do I là trung điểm của BC, tam giác ABC đều
\(\Rightarrow AI\) là phân giác góc A.
Suy ra, A, H, I thẳng hàng \(H\in \) đoạn thẳng AI ( do H nằm trong tam giác ABC)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AI \bot BC\\SH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAI)\\ \Rightarrow \left( {\widehat {(SBC),(ABC)}} \right) = \left( {\widehat {SI,AI}} \right) = \widehat {SIA} = {60^0}\end{array}\)
Tam giác SHI vuông tại H \(\Rightarrow \frac{SH}{HI}=\tan {{60}^{0}}\Rightarrow SH=\sqrt{3}HI\)
Tam giác AIC vuông tại I \(\Rightarrow \frac{AI}{IC}=\tan {{60}^{0}}\Rightarrow AI=\sqrt{3}IC=\sqrt{3}.\frac{BC}{2}=\sqrt{3}SH\)
\(\Rightarrow AI=3HI\Rightarrow H\)là trọng tâm tam giác đều ABC \(\Rightarrow M,N\) lần lượt là trung điểm của AC, AB.
\(\Rightarrow S.ABC\) là hình chóp đều. Mà \(O\in SH\)\(\Rightarrow OM=ON=OI=1\)
Tam giác IOK vuông tại K: \(\frac{OK}{OI}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}=\sin \widehat{KIO}\Rightarrow \widehat{KIO}={{30}^{0}}\Rightarrow \widehat{HIO}={{60}^{0}}-{{30}^{0}}={{30}^{0}}\)
Tam giác HIO vuông tại H: \(HI=OI.\cos {{30}^{0}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Tam giác SHI vuông tại H: \(SH=HI.\tan {{60}^{0}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\sqrt{3}=\frac{3}{2}=h,\,\,\,SI=\frac{HI}{\cos {{60}^{0}}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\)
Tam giác SCI vuông tại I: \(SC=\sqrt{S{{I}^{2}}+I{{C}^{2}}}=\sqrt{S{{I}^{2}}+S{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{21}}{2}=a\)
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là: \(R=\frac{{{a}^{2}}}{2h}=\frac{{{\left( \frac{\sqrt{21}}{2} \right)}^{2}}}{2.\frac{3}{2}}=\frac{\frac{21}{4}}{3}=\frac{7}{4}\)
Thể tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là: \(V=\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}=\frac{4}{3}\pi .{{\left( \frac{7}{4} \right)}^{3}}=\frac{343\pi }{48}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
