Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng d có phương trình \(x-y+1=0\) và hai điểm\(A\left( 3;1

Câu hỏi số 241541:

Vận dụng

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng d có phương trình \(x-y+1=0\) và hai điểm\(A\left( 3;1 \right);B\left( 7;5 \right)\). Tìm điểm M thuộc d sao cho \(MA+MB\) nhỏ nhất ?

A. \(M\left( -\frac{9}{2};\frac{7}{2} \right)\)

B. \(M\left( \frac{9}{2};-\frac{7}{2} \right)\)

C. \(M\left( \frac{7}{2};\frac{9}{2} \right)\)

D. \(M\left( \frac{7}{2};-\frac{9}{2} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:241541

Phương pháp giải

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d, ta có : \(MA=MA’\)

Áp dụng BĐT tam giác ta có \(\Rightarrow MA+MB=MA'+MB\ge A'B\Rightarrow {{\left( MA+MB \right)}_{\min }}\Leftrightarrow M,A',B\) thẳng hàng.

Giải chi tiết

Ta dễ dàng kiểm tra được A, B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d, ta có : \(MA=MA’\)

\(\Rightarrow MA+MB=MA'+MB\ge A'B\)

\(\Rightarrow MA+MB\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow M,A',B\) thẳng hàng hay \(M=A'B\cap d\).

Đường thẳng AA’ đi qua A và vuông góc với d nên có phương trình \(x+y-4=0\,\,\left( d' \right)\).

Gọi \(H=d\cap d'\Rightarrow \) Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\x + y - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{2}\\y = \frac{5}{2}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right)\) là trung điểm của AA’ \(\Rightarrow \left\{ \begin{align} {{x}_{A'}}=2{{x}_{H}}-{{x}_{A}}=0 \\ {{y}_{A'}}=2{{y}_{H}}-{{y}_{H}}=4 \\ \end{align} \right.\Rightarrow A'\left( 0;4 \right)\)

\(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng A’B là : \(\frac{x-0}{7-0}=\frac{y-4}{5-4}\Leftrightarrow \frac{x}{7}=y-4\Leftrightarrow x-7y+28=0\)

\(\Rightarrow MA+MB\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow M=A'B\cap d\Rightarrow \) Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\x - 7y + 28 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{7}{2}\\y = \frac{9}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{7}{2};\frac{9}{2}} \right)\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.