Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+\left( 3m-1 \right)x+6m\) có đồ thị là \(\left( C \right).\) Tìm tất

Câu hỏi số 245345:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+\left( 3m-1 \right)x+6m\) có đồ thị là \(\left( C \right).\) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để \(\left( C \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}},\,\,{{x}_{3}}\) thỏa mãn điều kiện \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=20.\)

A. \(m=\frac{5\,\pm \,\sqrt{5}}{3}.\)

B. \(m=\frac{3\,\pm \,\sqrt{33}}{3}.\)

C. \(m=\frac{2\,\pm \,\sqrt{3}}{3}.\)

D. \(m=\frac{2\,\pm \,\sqrt{22}}{3}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:245345

Phương pháp giải

Viết phương trình hoành độ giao điểm, áp dụng hệ thức Viet để giải quyết yêu cầu bài toán

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(Ox\) là \({{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+\left( 3m-1 \right)x+6m=0\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{3}}-x-3m{{x}^{2}}+3mx+6m=0\Leftrightarrow \left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x \right)-3m\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)=0\)

\(\Leftrightarrow \left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-\left( 3m+1 \right)x+6m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-1 \\ & \underbrace{{{x}^{2}}-\left( 3m+1 \right)x+6m}_{f\left( x \right)}=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right) \\\end{align} \right.\)

Để \(\left( C \right)\) cắt \(Ox\) tại ba điểm phân biệt \(\Leftrightarrow \,\,\left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác \(-\,1.\)

Khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}
f\left( { - \,1} \right) \ne 0\\
\Delta = {\left( {3m + 1} \right)^2} - 4.6m > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( { - \,1} \right)^2} + \left( {3m - 1} \right).\left( { - \,1} \right) + 6m \ne 0\\
9{m^2} - 6m + 1 - 24m > 0
\end{array} \right.\) \(\left( I \right).\)

Gọi \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) là nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\) suy ra \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=3m+1 \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=6m \\\end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)

Mà \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=20\Leftrightarrow x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-{{x}_{1}}{{x}_{2}}=19\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=19\) \(\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) suy ra \({{\left( 3m+1 \right)}^{2}}-3.6m=19\)\(\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-12m-18=0\Leftrightarrow m=\frac{2\,\pm \,\sqrt{22}}{3}\) (thỏa mãn \(\left( I \right)\)).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.