Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho đồ thị hàm số \(y=\frac{2x+1}{x+1}\) cắt

Câu hỏi số 245344:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho đồ thị hàm số \(y=\frac{2x+1}{x+1}\) cắt đường thẳng \(y=x+m\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(OAB\) vuông tại \(O,\) với \(O\) là gốc tọa độ.

A. \(m=1.\)

B. \(m=\frac{2}{3}.\)

C. \(m=\frac{3}{2}.\)

D. \(m=5.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:245344

Phương pháp giải

Viết phương trình hoành độ giao điểm, áp dụng hệ thức Viet để giải quyết yêu cầu bài toán

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( d \right)\) là \(\frac{2x+1}{x+1}=x+m\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x\ne -\,1 \\ & \underbrace{{{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+m-1}_{f\left( x \right)}=0 \\\end{align} \right.\)

Để \(\left( C \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại hai điểm phân biệt \(\Leftrightarrow f\left( x \right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt khác \(-\,1\)\(\Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{align} & m>5 \\& m<1 \\\end{align} \right..\)

Khi đó, gọi \(A\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m \right),\,\,B\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m \right)\) là tọa độ giao điểm, với \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1-m \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-1 \\\end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right).\)

Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O,\) có \(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}+\left( {{x}_{1}}+m \right)\left( {{x}_{2}}+m \right)=0\) \(\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) suy ra \(2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+m\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow 2\left( m-1 \right)+m\left( 1-m \right)+{{m}^{2}}=0\Leftrightarrow m=\frac{2}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.