Cho \(a,b\) là các số thực dương thỏa mãn \(\frac{1}{2}{{\log }_{2}}a={{\log }_{2}}\frac{2}{b}\). Hỏi giá

Câu hỏi số 247202:

Vận dụng cao

Cho \(a,b\) là các số thực dương thỏa mãn \(\frac{1}{2}{{\log }_{2}}a={{\log }_{2}}\frac{2}{b}\). Hỏi giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau \(P=4{{a}^{3}}+{{b}^{3}}-4{{\log }_{2}}\left( 4{{a}^{3}}+{{b}^{3}} \right)\) là

A. \(4{{\log }_{2}}6.\)

B. \(\frac{4}{\ln 2}-4{{\log }_{2}}\frac{4}{\ln 2}.\)

C. \(4\left( 1-{{\log }_{2}}3 \right).\)

D. \(-\,4.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:247202

Phương pháp giải

Tìm mối liên hệ giữa các biến ở giả thiết, đưa về khảo sát hàm số với điều kiện của ẩn.

Giải chi tiết

Ta có \(\frac{1}{2}{{\log }_{2}}a={{\log }_{2}}\frac{2}{b}\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\sqrt{a}={{\log }_{2}}\frac{2}{b}\Leftrightarrow \sqrt{a}=\frac{2}{b}\Leftrightarrow a=\frac{4}{{{b}^{2}}}.\)

Đặt \(t=4{{a}^{3}}+{{b}^{3}}={{b}^{3}}+\frac{256}{{{b}^{6}}}=\frac{{{b}^{3}}}{2}+\frac{{{b}^{3}}}{2}+\frac{256}{{{b}^{6}}}\ge 3\sqrt(3){\frac{{{b}^{3}}}{2}.\frac{{{b}^{3}}}{2}.\frac{256}{{{b}^{6}}}}=12\Rightarrow t\in \left( 12;+\,\infty \right).\)

Khi đó \(P=f\left( t \right)=t-4{{\log }_{2}}t,\) có \({f}'\left( t \right)=1-\frac{4}{t.\ln 2}>0;\,\,\forall t\ge 2.\)

Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left( 12;+\,\infty \right)\)\(\Rightarrow f\left( t \right)\ge f\left( 12 \right).\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \({{P}_{\min }}=12-4{{\log }_{2}}12=12-4.{{\log }_{2}}\left( {{3.2}^{2}} \right)=4\left( 1-{{\log }_{2}}3 \right).\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.