Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\left( {0;1} \right)\) thỏa mãn điều kiện:\(f\left(

Câu hỏi số 247203:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\left( {0;1} \right)\) thỏa mãn điều kiện:\(f\left( 1 \right) = 1\), \(\int\limits_0^1 {x.f\left( x \right)} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x = \dfrac{4}{{15}}\), \(\int\limits_0^1 {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^{{\kern 1pt} 2}}} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x = \dfrac{{49}}{{45}}.\) Tích phân \(\int\limits_0^1 {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^{{\kern 1pt} 2}}} {\mkern 1mu} {\rm{d}}x\) bằng

A. \(\dfrac{2}{9}.\)

B. \(\dfrac{1}{6}.\)

C. \(\dfrac{4}{{63}}.\)

D. \(1.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:247203

Phương pháp giải

Tìm hàm số f(x) qua hàm số f’(x) dựa vào tạo hằng đẳng thức tích phân

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = f\left( x \right)}\\{{\rm{d}}v = x{\mkern 1mu} {\rm{d}}x}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{du = f'\left( x \right){\rm{d}}x}\\{v = \dfrac{{{x^2}}}{2}}\end{array}} \right..\)

Khi đó \(\int\limits_0^1 {x.f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x} = \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}.f\left( x \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{2}f'\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x} = \dfrac{1}{2} - \int\limits_0^1 {\dfrac{{{x^2}}}{2}f'\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {{x^2}f'\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x} = \dfrac{1}{2} - \int\limits_0^1 {x.f\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x} \\ \Rightarrow \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {{x^2}f'\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{4}{{15}}\\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {{x^2}f'\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x} = \dfrac{7}{{15}}\end{array}\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {{{\left( {f'\left( x \right) - k{x^2}} \right)}^{{\kern 1pt} 2}}{\mkern 1mu} {\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^{{\kern 1pt} 2}}{\mkern 1mu} {\rm{d}}x} - 2k\int\limits_0^1 {{x^2}f'\left( x \right){\mkern 1mu} {\rm{d}}x} + {k^2}\int\limits_0^1 {{x^4}{\mkern 1mu} {\rm{d}}x} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{49}}{{45}} - 2.\dfrac{7}{{15}}k + \dfrac{1}{5}{k^2}.\end{array}\)

Suy ra \(\int\limits_0^1 {{{\left( {f'\left( x \right) - k{x^2}} \right)}^{{\kern 1pt} 2}}{\rm{d}}x} = 0 \Leftrightarrow k = \dfrac{7}{3}\)\( \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{7}{3}{x^2} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{7}{9}{x^3} + C.\)

Do \(f\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow C = \dfrac{2}{9} \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{7}{9}{x^3} + \dfrac{2}{9}\).

Vậy \(\int\limits_0^1 {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}dx} = \dfrac{2}{9}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.