Cho ba số thực \(x,\,y,z\) thỏa mãn \(x+y-z=2\). Biết giá trị nhỏ nhất của biểu
Cho ba số thực \(x,\,y,z\) thỏa mãn \(x+y-z=2\). Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(A=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-2z+3}+\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x-2y+5}\)
đạt tại \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\). Tính \({{x}_{0}}+{{y}_{0}}\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Chuyến sang hệ trục tọa độ trong không gian.
\(\begin{align} & A=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-2z+3}+\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x-2y+5} \\ & \,\,\,\,\,=\sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}}+\sqrt{{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{z}^{2}}} \\\end{align}\)
Lấy \(S(x;y;z)\in (P):x+y-z=2\) bất kì, \(M\left( 1;1;1 \right),\,\,N(2;1;0)\).
\(\Rightarrow A=\sqrt{{{(x-1)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z-1)}^{2}}}+\sqrt{{{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{z}^{2}}}=SM+SN\)
Ta thấy: \(\left( 1+1-1-2 \right)(2+1-0-2)<0\Rightarrow M,\,N\) nằm khác phía so với mặt phẳng \((P):x+y-z=2\)
Ta có: \(SM+SN\ge MN\)
\({{\left( SM+SN \right)}_{\min }}=MN\Leftrightarrow \,\,\overline{M,S,N}\)
Khi đó, S là giao điểm của MN và (P).
*) Xác định tọa độ của S:
\(\overrightarrow{MN}=(1;0;-1)\)
Phương trình đường thẳng MN: \(\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=1 \\ & z=1-t \\\end{align} \right.\)
\(S\in MN\Rightarrow S(1+t;1;1-t)\)
\(S\in (P)\Rightarrow (1+t)+1-(1-t)=2\Leftrightarrow 1+2t=2\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\Rightarrow S\left( \frac{3}{2};1;\frac{1}{2} \right)\)
Vậy, biểu thức A đạt GTNN tại \(\left( \frac{3}{2};1;\frac{1}{2} \right)\Rightarrow {{x}_{0}}+{{y}_{0}}=\frac{5}{2}\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
