Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số

Câu hỏi số 247820:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số \(y={{e}^{\frac{3x-\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{x-\sqrt{(2018-m){{x}^{2}}+1}}}}\) có 2 tiệm cận ngang?

A. 2016.

B. 2019.

C. 2017.

D. 2018.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:247820

Phương pháp giải

Đồ thị của hàm số \(y=f(x)\) có hai tiệm cận ngang \(\Leftrightarrow \) Tập xác định của \(y=f(x)\) chứa khoảng âm vô cực và dương vô cực và \(\exists a,\,b\in \mathbb{R},\,\,a\ne b:\,\,\,\,\,\left\{ \begin{align} & \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=a \\ & \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b \\\end{align} \right.\).

Giải chi tiết

\(y={{e}^{\frac{3x-\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{x-\sqrt{(2018-m){{x}^{2}}+1}}}}\)

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{align} & m{{x}^{2}}+1\ge 0 \\ & (2018-m){{x}^{2}}+1\ge 0 \\\end{align} \right.\)

Đồ thị của hàm số \(y={{e}^{\frac{3x-\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{x-\sqrt{(2018-m){{x}^{2}}+1}}}}\) có 2 tiệm cận ngang \(\Rightarrow \)Tập xác định D phải chứa khoảng âm vô cực và dương vô cực.

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & m\ge 0 \\ & 2018-m\ge 0 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow 0\le m\le 2018\)

+) \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{3x-\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{x-\sqrt{(2018-m){{x}^{2}}+1}}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{3-\sqrt{m+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}{1-\sqrt{(2018-m)+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{3-\sqrt{m}}{1-\sqrt{2018-m}}}}=a\)

Ta tìm m để tồn tại giá trị của \(a\in R\):

TH1: \(1-\sqrt{2018-m}\ne 0\Leftrightarrow m\ne 2017\). Khi đó:\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{3-\sqrt{m}}{1-\sqrt{2018-m}}}}={{e}^{\frac{3-\sqrt{m}}{1-\sqrt{2018-m}}}}=a\in R\)

TH2: \(1-\sqrt{2018-m}=0\Leftrightarrow m=2017\). Khi đó: \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{3-\sqrt{m}}{1-\sqrt{2018-m}}}}=a=0\in R\)

+) \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{3x-\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{x-\sqrt{(2018-m){{x}^{2}}+1}}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{3+\sqrt{m+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}{1+\sqrt{(2018-m)+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{\frac{3+\sqrt{m}}{1+\sqrt{2018-m}}}}={{e}^{\frac{3+\sqrt{m}}{1+\sqrt{2018-m}}}}=b\in R,\,\,\forall m\in \left[ 0;2018 \right]\)

+) Giải phương trình:

\(\begin{align} & {{e}^{\frac{3-\sqrt{m}}{1-\sqrt{2018-m}}}}={{e}^{\frac{3+\sqrt{m}}{1+\sqrt{2018-m}}}}\Leftrightarrow \frac{3-\sqrt{m}}{1-\sqrt{2018-m}}=\frac{3+\sqrt{m}}{1+\sqrt{2018-m}} \\ & \Leftrightarrow \left( 3-\sqrt{m} \right)\left( 1+\sqrt{2018-m} \right)=\left( 3+\sqrt{m} \right)\left( 1-\sqrt{2018-m} \right) \\ & \Leftrightarrow 3+3\sqrt{2018-m}-\sqrt{m}-\sqrt{m(2018-m)}=3-3\sqrt{2018-m}+\sqrt{m}-\sqrt{m(2018-m)} \\ & \Leftrightarrow 6\sqrt{2018-m}=2\sqrt{m}\,\,\,\,\Leftrightarrow 9.(2018-m)=m\,\,\,\,\,\Leftrightarrow m=\frac{9081}{5}\in \left[ 0;2018 \right] \\ & \Rightarrow {{e}^{\frac{3-\sqrt{m}}{1-\sqrt{2018-m}}}}={{e}^{\frac{3+\sqrt{m}}{1+\sqrt{2018-m}}}}\Leftrightarrow m=\frac{9081}{5} \\\end{align}\)

Vậy, với mọi số nguyên \(m\in \left[ 0;2018 \right]\backslash \left\{ \frac{9081}{5} \right\}\), hàm số \(y={{e}^{\frac{3x-\sqrt{m{{x}^{2}}+1}}{x-\sqrt{(2018-m){{x}^{2}}+1}}}}\) luôn có 2 tiệm cận ngang.

Số giá trị nguyên của m thỏa mãn là: 2019 số.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.